Теоретические сведения. Леонардом Эйлером в 1755 г
Леонардом Эйлером в 1755 г. были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости
где После незначительных преобразований данную систему уравнений можно представить в виде уравнения:
Полученное уравнение (2.2) выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy, dz в общем случае равновесия жидкости. Поверхность жидкости, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня. Для поверхности равного давления
Уравнение (2.3) устанавливает связь между координатами свободной поверхности и действующими на жидкость массовыми силами, единичные проекции которых равны X, Y, Z. Поверхности уровня жидкостей, соприкасающиеся с газообразной средой (чаще атмосферной), называются свободными поверхностями. Комбинация массовых сил, действующих на жидкость, может быть разной. Если жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли (т. е. вращением жидкости вместе с Землей можно пренебречь), то такое равновесное состояние жидкости можно назвать абсолютным покоем. При абсолютном покое жидкость находится под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на жидкость кроме сил тяжести действуют силы инерции. Силы инерции могут быть постоянны по времени, поэтому равновесие жидкости в этом случае называется относительным покоем. При относительном покое свободная поверхность жидкости, или поверхность уровня, принимает другие формы по сравнению с формой при абсолютном покое. Рассмотрим формы поверхности равного давления и свободные поверхности жидкости при разных комбинациях массовых сил.
При условии, что ось z направлена вертикально вверх, проекции силы тяжести на ось x Х = 0; на ось y Y = 0; на ось z Z = – g. Дифференциальное уравнение (2.3) в этом случае примет вид
или после интегрирования
Уравнение (2.5) является уравнением горизонтальной плоскости, форму которой имеют все поверхности равного давления и свободная поверхность, когда на жидкость действует только сила тяжести (рис. 2.1). Случай 2. Жидкость находится в сосуде, который движется прямолинейно, равномерно ускоренно. На жидкость в этом случае действуют не только силы тяжести, но и силы инерции, которые характеризуются ускорением а и направлены противоположно движению. Проекции этих единичных сил на соответствующие координатные оси равны:
Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид
или после интегрирования
Уравнение (2.7) является уравнением наклонной плоскости (рис. 2.2), угол наклона которой к горизонту b определяется отношением
Случай 3. Жидкость находится в сосуде, который равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w (рис. 2.3).
Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид
или после интегрирования
С учетом того, что
окончательно получим
Уравнение (2.13) является уравнением параболоида вращения, который в сечении вертикальными плоскостями дает параболы, а в горизонтальной плоскости – окружности. Положение любой точки свободной поверхности, например точки В (рис. 2.4), определяется координатой
где rB – радиус точки В. Самой высокой точкой свободной поверхности является точка на стенке резервуара D (рис. 2.4). Ее координата соответственно будет равна
где R – радиус резервуара.
Рис. 2.4. Определение координат свободной поверхности
Одновременно координата zD является высотой параболоида вращения. По отношению ко дну точка D как самая высокая точка свободной поверхности находится на расстоянии
Самой низкой точкой параболоида вращения является точка О на оси цилиндра (начало координат). Точка О соответствует максимальному понижению свободной поверхности по оси резервуара относительно статического уровня Н. Ее расстояние от дна резервуара
Следовательно, при вращении жидкость поднимается у стенки и опускается по оси резервуара по отношению к статическому уровню на одну и ту же величину Значение избыточного давления внутри жидкости при вращении согласно уравнению (2.13) определится по формуле
где ri – радиус рассматриваемой i-й точки; zi – расстояние от начала координат до рассматриваемой i-й точки (рис. 2.4). Самое малое избыточное давление на дно будет по оси вращения в центре резервуара:
Самое большое избыточное давление на дно возникает у стенки:
Эпюра избыточного давления на дно и стенки резервуара приведена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Эпюры давления
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (807)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |