СЛАУ, матричный вид СЛАУ
Обратная матрица Определение 1. Пусть задана квадратная матрица . Матрица называется обратной матрицей к матрице , если выполнено соотношение , где - единичная матрица той же размерности. Обратную матрицу мы будем обозначать символом . Теорема 1. Для квадратной матрицы обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен 0. Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица существует. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то справедливо соотношение . В этом равенстве ни один из множителей не может быть равным 0. Поэтому . Необходимость условия теоремы доказана. Достаточность. Пусть определитель матрицы не равен 0. Докажем, что обратная матрица существует. Доказательство будет носить конструктивный характер. Мы просто в явном виде построим эту матрицу. Одновременно будет показан способ построения обратной матрицы. Шаг № 1. Вычислим и убедимся в том, что он не равен 0. Шаг № 2. Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы . Шаг № 3. Транспонируем матрицу, построенную в п. 2. Шаг № 4. Поделим каждый элемент матрицы, построенной в п. 3, на . Докажем, что полученная при этом матрица и будет искомой обратной матрицей матрицы . Пусть заданная матрица имеет вид , тогда после шага 2 мы получим матрицу , которая после шага 3 превратится в матрицу . Найдем произведение этой матрицы и заданной матрицы в том и другом порядке. Итак, запишем и вычислим все : , … Первое из этих равенств справедливо, потому что получается сумма попарных произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т. е. определитель матрицы . Второй элемент равен 0, т.к. он равен сумме попарных произведений элементов второй строки матрицы на алгебраические дополнения к элементам ее первой строки, т. е. это разложение по первой строке определителя, у которого первая и вторая строки равны. В итоге все элементы , а остальные элементы , если . Аналогичный результат получится при рассмотрении произведения , только здесь будет разложения по столбцам матрицы . Теорема доказана, т.к. если в этих произведениях все элементы поделить на , то результатом произведения матриц будет единичная матрица. Пример 1. Найдем обратную матрицу для матрицы . Шаг № 1. Вычислим . Шаг № 2. Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы . Шаг № 3. Транспонируя эту матрицу, получим . Шаг № 4. Поделим каждый элемент этой матрицы на и найдем обратную матрицу . Проверим, что полученная матрица и будет искомой обратной матрицей. Вычислим . Аналогично . СЛАУ, матричный вид СЛАУ
В различных приложениях получение важных результатов связано с необходимостью решения СЛАУ – системы линейных алгебраических уравнений. Запишем общий вид СЛАУ (1) Здесь неизвестные можно воспринимать как вектор неизвестных , коэффициенты при неизвестных , , - как матрицу неизвестных , правые части можно воспринимать как вектор неизвестных . При таких обозначениях уравнение (1) запишется в виде (1’). Пример 2. Запишите систему в матричном виде и найдите ее решение. Запишем систему в матричном виде . Матрицу умножим на равные вектора – матрицы размерности : и . Тем самым мы получим верное равенство . В примере 1 мы показали, что матрицы и являются взаимно обратными и их произведение равно единичной матрице . Следовательно, и , . Этот, матичный, и другие методы решения СЛАУ мы изучим на следующей лекции.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (305)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |