Формула полной вероятности и формулы Байеса
Следствием основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теорем умножения – является так называемая формула полной вероятности. Теорема. Пусть событие которая называется формулой полной вероятности. Замечание 1. Так как события
причем формула (11) служит контрольной формулой при решении задач. Замечание 2. События
Пример. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для выхода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.
Решение. Пусть событие
Контрольная формула:
Применяя формулу полной вероятности, получим: Допустим теперь, что произведено испытание, и событие
По теореме умножения имеем:
Отсюда
подставив вместо
или
Окончательно для всех гипотез
Замечание. Формулы (12) называются формулами Байеса и позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как известен результат испытания, в итоге которого появилось событие Пример. В пирамиде установлено 10 винтовок, из которых 4 имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела - 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: была взята винтовка с оптическим прицелом или без него?
Решение. Пусть событие Контрольная формула:
Переоценим вероятности гипотез после опыта по формулам Байеса:
Вероятнее, что цель была поражена винтовкой без оптического прицела.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (464)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |