Теорема (существование и вычисление обратной матрицы)
А) Матрица обратима . Б) Обратную матрицу можно вычислить по формуле
. (2.3)
Свойства обратной матрицы: 1) , 2) , 3) если и обратимые матрицы одного порядка, то матрица обратима и , 4) , 5) = . Примеры решения задач 2.2.1.Найти матрицу , если , . ◄ 1) Произведение матрицы на число 2 – матрица . 2) Поместив каждую строку матрицы на место столбца с тем же номером, получим транспонированную матрицу . 3) Так как размеры матриц и одинаковые – – то определена сумма этих матриц – матрица . ►
2.2.2.Для матриц и найти следующие произведения: и , , и . ◄ 1) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то произведение определено. Матрица имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель . Находим по правилу (2.1) – «строка первого сомножителя на столбец второго»: . 2) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то произведение также определено: . Мы видим, что , то есть произведение зависит от порядка сомножителей. 3) . 4) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то матрица определена и имеет столько же строк – 3, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 3, что и второй сомножитель : . Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то матрица определена и имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель : .►
2.2.3.Пусть – -матрица, – -матрица, – -матрица. Если а) или б) , то какими могут быть значения и ? ◄) а) Если , то (длина строк ) (высота столбцов ), (число строк ) (число строк ) (число строк ), (число столбцов ) (число столбцов ) (число столбцов ). Таким образом, и . б) Если , то – -матрица, (длина строк ) (высота столбцов ), (число строк ) (число строк ) (число строк ), (число столбцов ) (число столбцов ) (число столбцов ). Таким образом, и . ► 2.2.4.Проверить, что матрица обратима, найти обратную матрицу по формуле (2.3), сделать проверку, пользуясь определением обратной матрицы. ◄ Матрица – квадратная, ее определитель , следовательно, матрица обратима, то есть обратная матрица существует. Найдем ее по формуле (2.3). Сначала найдем алгебраические дополнения элементов матрицы : , ,
, . Теперь . Сделаем проверку , то есть . Аналогично проверяется (проверьте!), что . Согласно определению (формула (2.2)) найденная матрица является обратной к .► 2.2.5.Проверить, что матрица обратима, и найти для нее обратную матрицу. ◄ Найдем определитель матрицы: Так как , то матрица обратима. Найдем обратную матрицу по формуле (2.3). Сначала выпишем и вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы : , , , , , , , , . По формуле (2.3) получаем и, окончательно, . ► 2.2.6.Найти и , если – квадратная матрица -го порядка с . ◄ Матрица получается из матрицы умножением каждой строки на число . По свойству однородности определителя общий множитель каждой из строк можно вынести за знак определителя: . В силу свойства 1) умножения матриц в произведении можно не ставить скобки: . По свойству 5) произведения . Используя свойство 1) обратной матрицы и свойство 5) операции транспонирования, получаем .► 2.2.7.Упростить выражение , где и – квадратные матрицы одного порядка. ◄ Используем свойства 2)-4) обратной матрицы, формулу (2.2), свойства операций умножения и транспонирования: .►
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (481)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |