Самостоятельная работа студента 4 Модели временных рядов
Методические рекомендации Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РК (таблица 3). Таблица 3 Исходные данные
Построим поле корреляции (рисунок 2): Рисунок 2 Поле корреляции Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу. Таблица 4 Вспомогательная таблица
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше. Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле: . Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка. Таблица 5 Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Следовательно . Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу. Таблица 6 Сводная таблица
Коррелограмма: Рисунок 3 Коррелограмма
Анализ коррелограммы и графика 3 исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Моделирование тенденции временного ряда Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 4.1. Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда. Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: 1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл 5). 1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. 1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 5). Таблица 6 Расчетные данные
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 5) Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Таблица 7 Расчетные данные
Для данной модели имеем: . Корректирующий коэффициент: . Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( ) и заносим полученные данные в таблицу 4. Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты: . Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 8). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту. Таблица 8 Расчетные данные
Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: . Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 8). Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 8). На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели. Рисунок 4 Фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. . Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года. Шаг Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда . Получим ; . Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом, ; . Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно. Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера. Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Таблица 9 Исходные данные
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 9). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты (табл. 10). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4. Таблица 10 Расчет сезонной компоненты
Имеем . Определяем корректирующий коэффициент: . Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент . Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты: . Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (гр. 4 табл. 11), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту. Таблица 11 Расчетные данные
Шаг 4. Определим компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни . В результате получим уравнение тренда: . Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 11). Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 11). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели. Рисунок 5 Фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле: . Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать сумму квадратов абсолютных ошибок : . Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные. Шаг Прогнозирование по мультипликативной модели. Если предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда . Получим ; . Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом ; . Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436 правонарушений соответственно. Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты заносим в таблицу: Таблица 4.12 Промежуточные расчеты
Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели составляет: . Сформулируем гипотезы: – в остатках нет автокорреляции; – в остатках есть положительная автокорреляция; – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости . По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых параметров модели (мы рассматриваем только зависимость от времени ) критические значения и . Фактическое значение -критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал (1,37<2,24<2,63). Следовательно, нет основания отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона. 1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака. 2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. 3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.
Варианты индивидуальных заданий. Общая постановка задачи. СРС1 Парная регрессия и корреляция По территориям региона приводятся данные за 200_ г. (см. таблицу своего варианта). Требуется: 1) Построить линейное уравнение парной регрессии от . 2) Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. 3) Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента. 4) Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня. 5) Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. 6) На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую. Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (467)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |