Охлаждение полубесконечного стержня и стержня ограниченных размеров
Краевая задача для полубесконечного стержня: (3.4 a) Левый край стержня поддерживается при нулевой температуре. Введем вместо новую функцию : При таком продолжении задача (3.4а) сводится к (3.2), решение которой имеет вид формулы Пуассона: Рис. 20 В параграфе 3.2 было показано, что данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям: . Нужно доказать, что выполняется краевое условие. (во втором интеграле заменим y на –y) При эти два интеграла совпадают, т.е. . Ч.т.д.
Теперь рассмотрим тот же стержень при условии отсутствия теплопередачи через левый край: (3.4 б)
Введем новую функцию такую, что:
Рис. 21 Задача (3.4б) сводится к задаче (3.2) и имеет решение (3.3): Проверим выполнимость краевого условия: s w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>=</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> (во втором интеграле заменим y на –y) При это выражение равно 0, т.е. . Ч.т.д.
Рассмотрим охлаждение стержня ограниченных размеров, оба конца которого имеют нулевую температуру. (3.5)
Продолжим начальное условие нечетным образом влево и вправо с периодом 2l.
и т.д.
Рис. 22 Тогда задача (3.5) сводится к (3.2) и дает решение в виде формулы Пуассона: Уже было показано, что эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию при выполнении условия Липшица. Проверим выполнение краевого условия . Для этого разобьем интеграл на два: Введем новую переменную z=y-l Заменим z на –z во втором интеграле. Если x=l, то Ч.т.д. 3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности. Задача для бесконечного стержня с подкачкой в него энергии будет иметь вид (3.6) В данной задаче подкачку энергии определяет функция . Представим решение в виде суммы слагаемых (метод редукции): , и для каждого слагаемого составим свои задачи (3.6a) и (3.6б). (3.6a) (3.6б) Задача (3.6a) это задача (3.2), то есть ранее уже решенная. Её решение представляется формулой Пуассона: . Будем искать решение задачи (3.6б) в виде . Лемма: – удовлетворяет (3.6б), если удовлетворяет (3.6в) (3.6в) Доказательство: Найдем и : . . Можно увидеть, что , т.е. . Лемма доказана. Найдем решение (3.6в). Введем новую переменную и функцию , тогда (3.6в) примет вид Это задача является задачей (3.2) с заменами Её решение имеет вид (3.3): . Поскольку , . В конечном итоге получаем решение
(3.7) При подкачки энергии нет, решение (3.7) принимает вид решения (3.3). 3. . Решение однородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных Вернемся к задаче охлаждения стержня ограниченных размеров (3.5). Оба края стержня находятся при фиксированной нулевой температуре. Представим искомую функцию, в виде и подставим в дифференциальное уравнение. , Разделим переменные: . Левая часть зависит только от , а правая только от . Такое возможно, только если обе части одна и та же константа. Если эта константа отрицательна, то решение для есть, если константа положительная или равна нулю, то решения нет. Это было доказано в теме 2. Обозначим . Для функций и получаем уравнения , . Построим краевые задачи для этих функций. Для функции :
Найдем решение этой задачи: , , . Если , то решение будет нулевое, оно нас не интересует, значит, → . Получаем дискретный набор (собственных значений): , ему соответствует дискретный набор собственных функций: , где произвольная константа. Пользуясь произвольностью выбора , положим что , в таком случае получаем . Для функции T: . Решение дифференциального уравнения имеет вид . Найдем из начальных условий: Пусть , где . Тогда , . . Нашли частное решение в виде . Чтобы найти общее решение, построим бесконечный ряд , где (3.8) Чтобы ряд (3.8) был общим решением задачи (3.5),надо чтобы ряды для , , равномерно сходились. , . Чтобы ряды равномерно сходились, надо чтобы сходились мажорантные ряды: , , Будем считать, что , то есть начальная температура ограничена сверху: . Нас интересуют ряды: и Проверим их сходимость. Условие сходимости ряда . Применим его для наших рядов: , возьмем и рассмотрим отношение: . Мы доказали сходимость мажорантных рядов, значит,равномерно сходятся ряды для , , , а значит (3.8) является общим решением задачи (3.5). , где .(3.8)
3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных Задача на подогрев стержня ограниченных размеров имеет вид (3.9) Представим её решение в виде суммы решений (метод редукции): , и для каждого решения составим свои задачи. (3.9a) (3.9б) Задача (3.9a) ранее уже решена. Её решением является: . Будем искать решение задачи (3.9б). Представим функцию в виде ряда , чтобы сразу удовлетворить краевым условиям. , где . После подстановки получим: . Приравниваем коэффициенты при одинаковых гармониках и получаем дифференциальное уравнение: (3.9в) Решение будем искать в виде . Покажем, что - удовлетворяет (3.9в),если - удовлетворяет (3.9г). (3.9г) Доказательство: Складывая оба уравнения системы получим .Лемма доказана. Осталось найти решение (3.9г). Введем переменную . . Получаем измененное условие задачи (3.9г): , t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Подставим в , получим: , , . (3.10) При (3.10) сводится к (3.8).
3. . Существование, единственность и корректность решений краевых задач теплопроводности Существование решений различных краевых задач теплопроводности было доказано в рамках данной темы 3. 1. Докажем единственность решения общей краевой задачи. Доказательство проведём от противного: предположим, что есть 2 разных решения этой краевой задачи, и . Построим функцию . Поставим для неё краевую задачу
Решение этой краевой задачи в соответствие с теоремой об экстремуме является нулевым, значит, . 2. Вернемся к задаче на охлаждение бесконечного стержня. При доказательстве будем считать во всей области определения решения. Исходя от противного предположим, что есть два разных решения и . Получаем ограничение для функции . Временно ограничим координату и введем функцию , которая удовлетворяет уравнению теплопроводности. Поскольку , , получаем и на основе следствия 3 из теоремы об экстремуме . . Устремляем и получаем - . Следовательно, . 3.Краевую задачу будем называть корректной, если малому изменению начальных или краевых условий соответствует малое изменение её решения. Рассмотрим 2 краевые задачи, отличающиеся малым изменением начальных и краевых условий. Построим функцию , для которой получим:
Здесь в качестве выбрано наибольшее из , , . Видим, что на границе области . В соответствие со следствием 3 получаем во всей области определения решения. Следовательно, мало отличается от .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1031)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |