Общая задача оптимизации
Общей задачей оптимизации называют задачу отыскания максимального или минимального значения для вещественного функционала J, заданного на множестве M. В частности, если М представляет собой отрезок вещественных чисел, то получится задача оптимизации функции. Пусть
Рассмотрим задачу минимизации функционала J на множестве М. Под решением такой задачи понимают любой элемент m из множества М, удовлетворяющий условию:
Такой m называют ещё оптимальным (или минимальным) элементом множества М относительно функционала J, а соответствующее число
Аналогично рассматривается задача максимизации функционала. Заметим, что задача максимизации функционала J на множестве М эквивалентна задаче минимизации функционала Пусть J есть функционал на множестве М. Число a называют нижней гранью функционала J, если
Двойственным образом определяются верхняя грань функционала J и точная нижняя грань функционала J; последняя обозначается через Можно поставить задачу нахождения точной нижней грани функционала J. Под решением такой задачи понимается любая соответствующая минимизирующая последовательность, а под значением–точная нижняя грань функционала J. Ясно, что задача нахождения точной нижней грани функционала обобщает задачу нахождения минимума этого же функционала. Если функционал J на множестве М имеет хотя бы одну нижнюю грань, то он называется ограниченным снизу на множестве М. Ограниченность снизу функционала на множестве гарантирует существование решения задачи нахождения точной нижней грани функционала на этом множестве. Т е о р е м а 1. Если функционал J на множестве М ограничен снизу, то найдётся последовательность Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество Если m не принадлежит множеству im J, то задача нахождения минимума функционала J не имеет решения, но если J ограничен снизу на М, то решение задачи нахождения точной нижней грани этого функционала (т.е. соответствующая минимизирующая последовательность) может рассматриваться как приближённое решение первой задачи. Пример 1. Пусть
Пример 2. Множество М (соответственно V) представляет собой множество всех непрерывных функций
Точная нижняя грань функционала равна
Минимизирующей последовательностью на множестве V будет, например, последовательность нижней грани функционала при Пример 3. Частным примером общей задачи оптимизации является задача математического программирования. В этом случае множество М состоит из всех векторов
где
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (332)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |