Краткие теоретические сведения. Сигнал есть физический процесс, который несет в себе информацию
Сигнал есть физический процесс, который несет в себе информацию. Информация, содержащаяся в сигнале, выражается зависимостью от времени какого-либо параметра сигнала S(t). Из математики известно, что любую функцию S(t), кусочно-гладкую на интервале от t=a до t=b и ограниченную по норме , можно разложить в ряд по полному набору ортогональных функций jn(t): . (1) Для периодических функций в качестве интервала [a,b] удобно брать период [-T/2,T/2]. Вид разложения (1) зависит не только от вида выбранных базисных функций jn(t), но и от способа выбора коэффициентов разложения Cn. Если коэффициенты Cn определяются по формуле , (2) то ряд (1) называется обобщенным рядом Фурье, который при фиксированном числе слагаемых ряда обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки разложения: . В качестве функций jn(t) в радиотехнике используют тригонометрические функции sin(wt), cos(wt). Это объясняется рядом причин: а) гармоническое колебание является собственным видом колебаний линейных систем с постоянными параметрами (колебательные контуры и др.); б) гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохранявшей свою форму при прохождении через любую линейную систему с постоянными параметрами, а изменяться может лишь амплитуда и фаза колебаний; в) гармонические функции sin(wt), cos(wt) являются ортогональными, они просты и определены при всех значениях t; г) для гармонических функций и их комплексного аналога разработан мощный математический аппарат, упрощающий анализ, найдены спектры множества форм сигналов и т. д. Вид Фурье-разложения сигнала S(t) c периодом Т по гармоническим функциям следующий: , (3) где согласно (2) коэффициенты разложения равны: ; , (4) где , , , . Таким образом, спектр периодической функции является линейчатым или дискретным, т. к. состоит из отдельных гармоник, yn — фаза гармоник. Важно подчеркнуть, что Фурье-разложение (3) не есть чисто математическая абстракция и его можно осуществить реально. Для этого нужно сложить достаточно большое число гармонических сигналов с частотами и амплитудами необходимых гармоник разложения, в результате получим исходный сигнал S(t). Таким образом, можно считать, что сигнал S(t) действительно состоит из суммы гармонических сигналов, каждый из которых можно выделить из сигнала S(t), например, с помощью фильтров. Рассмотрим пример разложения сигнала, состоящего из последовательности униполярных прямоугольных импульсов амплитудой Е, длительностью импульса t и периодом следования Т (рис.1). Спектр такого сигнала согласно (3) и (4) можно представить в следующем виде: , (5) где амплитуда n-гармоники , (6) а ее частота . (7)
Рис. 1. Последовательность униполярных прямоугольных импульсов (а) и ее спектр (б)
Как следует из (6), амплитуда гармоник, уменьшаясь с увеличением номера как 1/n, одновременно изменяется по закону синуса. Подставляя значение n из (7) в (6), получим, что огибающая амплитуд гармоник, определяющая ширину спектра, изменяется по закону: (8) и на частотах, кратных величине 2p/t, обращается в ноль. Таким образом, ширина спектра определяется только длительностью импульса. Расстояние между соседними гармониками w1=2p/T обратно пропорционально периоду следования импульсов, и если этот период неограниченно увеличивать (как бы переходя к одиночному импульсу, удаляя остальные в бесконечность), то расстояние между гармониками стремится к нулю, т. е. будет происходить переход от дискретного спектра к сплошному. При этом амплитуда гармоник вследствие увеличения n будет стремиться к нулю и вместо нее пользуются другой характеристикой S(w) — спектральной плотностью одиночного сигнала, причем выполняется соотношение: , . (9) В частном случае одиночного прямоугольного импульса длительностью t , (10) т. е. принимает форму огибающей линейчатого спектра последовательности прямоугольных импульсов и отличается только масштабом: p/w1=Т/2. В качестве второго примера рассмотрим спектр амплитудно-модулированного сигнала при модулирующей функции в виде косинуса (так называемая одноканальная модуляция): . (11) Раскрывая квадратные скобки и производя тригонометрические преобразования, получим: (12) Таким образом, спектр такого колебания состоит из трех гармоник: несущей частоты и двух боковых частот, сдвинутых относительно несущей на значение частоты модуляции W. Рис. 2. Амплитудно-модулированный синусоидальный сигнал (а), спектр амплитудно-модулированного сигнала (б) Амплитуды боковых частот пропорциональны глубине амплитудной модуляции М и при М=1 составляют половину амплитуды несущей. В общем случае произвольной модулирующей функции А(t) спектр амплитудно-модулированного сигнала будет состоять на несущей частоты и расположенных по обе стороны от нее спектров модулирующей функции A(t) (рис. 2).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (482)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |