Частотные характеристики динамических звеньев
Основные частотные характеристики Аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи W(jω) можно получить по операторной передаточной функции W(s), приравняв в переменной Лапласа s = σ + jω действительную часть σ нулю. Из комплексной передаточной функции
получают амплитудную (АЧХ) A(ω) = Aвых(ω)/Aвх, фазовую (ФЧХ) φ(ω) = φвых(ω) - φвх, действительную (ВЧХ) P(ω) = ReW(jω) и мнимую (МЧХ) Q(ω) = ImW(jω) частотные характеристики, связанные соотношениями
Если представить комплексный коэффициент передачи в виде дроби
то амплитудная характеристика будет равна
а фазовая характеристика
Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ или просто АФХ) – кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до +∞. В ходе расчетов следует отбросить отрицательные, мнимые и комплексные частоты и по возможности сократить получающиеся выражения для действительной и мнимой частей на ω. При построении частотных характеристик учитывают гладкость кривой (при разрывах годограф изменяется асимптотически), указывают на графике стрелкой направление увеличения частоты и/или крайние частоты. В каком бы порядке не были расположены частоты в таблице, построение кривой следует всегда производить по возрастанию значений частоты. Быстрая проверка правильности расчетов: - АФЧХ и АЧХ начинаются при значении bm/an = kуст; - АФЧХ и АЧХ заканчиваются в нуле (m<n) или при b0/a0 (для m= n); - АФЧХ устойчивой системы, не имеющей нулей, проходит по часовой стрелке столько квадрантов, каков порядок характеристического полинома. Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ω в показательной форме получают путем умножения на А(ω) амплитуды входного сигнала и добавления φ(ω) к его фазе. Пример 1. Построить частотные характеристики системы с ПФ W(s) = 2/(s2+5s+6). Подставляем s=jω, учитывая, что
В данном случае числители и знаменатели дробей (действительной и мнимой частей) на ω сократить нельзя. Составляем таблицу (таблица 3.4), используя обязательные значения частот (можно взять больше точек, но не меньше), и подставляем эти значения: - крайние частоты 0 и +∞; - частоты пересечения характеристик с осями (определяются путем приравнивания числителей дробей мнимой и действительной части к нулю и решения полученного уравнения); - частоты разрыва характеристики (находят, приравнивая знаменатель нулю и решая уравнение) и близкие к ним (чуть больше-чуть меньше) частоты; - прочие частоты для повышения точности расчета.
Таблица 3.4
Приравнивая Re(ω) = 0, получаем 6 - ω2 = 0, откуда ω = 2,45. Приравнивая Im(ω) = 0, получаем 10ω = 0, откуда ω = 0. По виду биквадратного уравнения 36+13ω2+ω4=0 определяем, что частот разрыва (действительных корней) нет. Частоты 1 и 3 рад/с добавлены произвольно для более точного построения графика. По одной таблице можно построить АФЧХ на комплексной плоскости (рисунок 3.1, а), индивидуально ВЧХ и МЧХ (рисунок 3.1, б), и после дополнительных расчетов АЧХ и ФЧХ (рисунок 3.1, в).
а б в Рисунок 3.1
Пример 2. Записать аналитически реакцию системы с известными АЧХ и ФЧХ (рисунок 3.2) на воздействие х(t) = 3,5sin(t).
Рисунок 3.2
Общий вид гармонического сигнала Asin(ωt + φ). Следовательно, входное воздействие характеризуется параметрами: амплитуда 3,5, фаза 0 рад, частота ω = 1 рад/с. Находим для этой частоты по графику A(ω) = 0,36; φ(ω) = -45° = -0,785 рад. Отсюда амплитуда выходной величины равна 3,5·0,36 = 1,26; фаза выходной величины 0 – 0.785 рад и окончательный вид реакции y(t) = 1,26sin(t – 0,785). Пример 3. При воздействии x(t) = 2sin10t найти сигнал на выходе системы с передаточной функцией W(s) = 4/(0,1s + 1). Получаем по ПФ аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ
Для известной частоты 10 рад/с значения АЧХ и ФЧХ равны
В тех случаях, когда протекающие процессы в САУ изучены слабо, и вывод ДУ, описывающих эти САУ, затруднен, в основу математического моделирования кладут не уравнения движения, а так называемые частотные характеристики (ЧХ) систем.
Частотные характеристики динамических звеньев
Если на вход стационарного ДЗ (рисунок 3.3) действует гармонический сигнал
то на выходе ДЗ установится также гармонической сигнал
той же угловой частоты w, но с измененными амплитудой Ymи начальной фазой y2(рисунок 3.3). Эти изменения зависят как от свойств самого ДЗ, так и от угловой частоты входного воздействия. Отношение амплитуд выходного и входного сигналов
и разность их фаз j(w) = y2- y1
являются функциями частоты. Их называют соответственно амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазово-частотной характеристикой (ФЧХ) звена.
Эти характеристики показывают, что линейное ДЗ изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала: в установившемся режиме амплитуда уменьшается или увеличивается в A раз, а фазовый сдвиг уменьшается или увеличивается на j градусов (радиан) при изменении угловой частоты w. Частотные характеристики зависят от свойств ДЗ, но не зависят от амплитуды и фазы входного воздействия. АЧХ может служить для оценки фильтрующих свойств, а ФЧХ – инерционных свойств ДЗ. Частотные характеристики всякого элемента САУ связаны с его ПФ W(s). Подставляя в выражение ПФ вместо оператора Лапласа s мнимую величину jw, получают комплексную функцию частоты W(jw), которую называют частотной передаточной функцией. Эта функция при любой частоте w является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательном виде
где A(w); j(w) – соответственно модуль и аргумент частотной ПФ,
Следовательно, модуль и аргумент частотной ПФ определяют соответственно АЧХ и ФЧХ звена. Частотная ПФ, как комплексная функция, может быть также представлена и в алгебраическом виде
где U(w); V(w) – функции частоты, называемые соответственно вещественной (действительной) и мнимой ЧХ. Они не имеют конкретного физического смысла, но используются в расчетах и определяются по формулам:
U(w) = ReW(jw); (3.12)
V(w) = ImW(jw). (3.13)
Частотные характеристики связаны между собой известными соотношениями (рисунок 3.4):
и
Если частотная ПФ задана в алгебраическом виде (3.11), преобразование ее к показательному виду (3.8) осуществляют по формулам (3.14). Соотношения (3.15) позволяют осуществить при необходимости обратное преобразование.
Кроме аналитического описания ЧХ изображают графически в декартовых координатах. Построение АЧХ и ФЧХ осуществляют по формулам (3.9) и (3.10). На рисунках 3.5 и 3.6 изображены в самом общем виде соответственно АЧХ и ФЧХ обыкновенных инерционных ДЗ или САУ. К обычным ЧХ относят амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой годограф частотной ПФ W(jw), т.е. геометрическое место концов вектора W(jw) при изменении частоты w от 0 до ±¥. Эту характеристику строят на комплексной плоскости в полярных (A, w) или декартовых (U, V) координатах конца вектора W(jw) по формулам (3.8), (3.9) или (3.11), (3.12). Типичный годограф W(jw) обыкновенного инерционного ДЗ показан на рисунке 3.2 в диапазоне частот -¥ < w < +¥. Рабочая ветвь годографа соответствует физически реализуемым положительным частотам w >0. Фазовые углы j(w) отсчитывают от положительной действительной полуоси (+1) против движения часовой стрелки. Инерционные звенья характеризуются отрицательными фазовыми углами j(w) < 0.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2088)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |