Лабораторная работа №3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью: e=0,01. Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений e.) 2. Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы. Для расчета использовать СЛАУ , заданную в соответствием с вариантом.
Указания к выполнению работы 1. Привести полученную систему к нормальному виду . 2. Решить систему методами Якоби и Гаусса–Зейделя, используя приложение Excel. 3. Проследить сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (см. рис.7). Метод Якоби (метод простых итераций) Задана система линейных алгебраических уравнений
. Или в матричной форме . Полагая, что диагональные коэффициенты aii ¹ 0 (i = 1, 2, … n) , разрешим первое уравнение системы относительно х1, второе – относительно х2 и т.д. Тогда получим эквивалентную систему где , и (i, j = 1, 2, … n). Введя матрицы и , исходную систему можно записать в матричной форме , а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле . За начальное приближение решения можно взять столбец свободных членов т.е. Строим последовательность приближений (итераций) . Если эта последовательность имеет предел , то он является точным решением системы. На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом: Если условие выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы с заданной точностью e принимается последнее найденное приближение, т.е. . Метод Гаусса-Зейделя Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идеяметода заключается в том, что при вычислении (k+1)-ой итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных значений . Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду: Выбираем произвольное начальное приближение и подставляем в первое уравнение системы Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (2.8) Используя , находим из третьего уравнения Этим заканчивается построение первой итерации Используя значения первого приближения можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k+1) можно представить следующим образом Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан так же, как и в методе Якоби.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1096)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |