Механический смысл векторного произведения
П. 7. Векторное произведение векторов Определение. Тройкой векторов называется три вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке ( - первый, - второй, - третий) и не лежащих в одной плоскости (некомпланарных). Определение.Тройка векторов называется «правой», если кратчайший поворот от вектора к вектору , когда смотрим с конца вектора , происходит против часовой стрелки. Если же этот поворот кажется происходящим по часовой стрелке, то тройка векторов называется «левой». Происхождение названия: если векторы совпадают соответственно с большим, указательным и средним пальцами правой руки – тройка правая, если левой руки – тройка левая. Смысл декартовой тройки всегда должен соответствовать правилу винта: правый винт (раскручиваем вправо, вкручиваем влево)) – тройка правая, левый винт – тройка левая.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям: 1) , 2) , 3) образуют правую тройку. (1) Обозначение или . Это вектор.
Геометрический смысл векторного произведения Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . . (2) Механический смысл векторного произведения 1)
2) Пусть материальная точка движется по окружности с центром в точке О,
Свойства векторного произведения. 1. – коллинеарные векторы. (3) Доказательство. Доказательство необходимости: 1) Пусть – ненулевые векторы. Тогда длина векторного произведения тогда и только тогда, когда , т.е. когда . 2) Пусть среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). По определению -вектор можно считать параллельным любому вектору, т.е. пусть . Доказательство достаточности: 1) Пусть , причем – ненулевые векторы. Тогда длина векторного произведения , так как . 2) Пусть , причем среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). Тогда длина векторного произведения равна нулю, так как длина - вектора равна 0. (что и треб. доказать). Частный случай: 2. (Пояснение: из-за смены троек) 3. Скалярный квадрат векторного произведения равен квадрату модуля векторного произведения: (следует из 2-го свойства скалярного произведения) 4. Если – действительное число, то (Пояснение: если одну из сторон параллелограмма увеличить в λ раз, не меняя ее направление, то и площадь увеличиться в λ раз). 5. , Перемножаем, строго соблюдая порядок. 6. 7.
Таблица векторного умножения ортов Углы , , , , , ; тогда ; длины ортов равны . Следовательно, исходя из определения векторного произведения, можем записать, что , , , .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2049)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |