Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной
Физический (механический) смысл Вытекает из задачи о скорости прямолинейного движения. Скорость ʋ прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t: ʋ = S′(t). По аналогии с этим производную любой функции часто называют скоростью изменения этой функции.
Геометрический смысл
Пусть на плоскости Оху кривая задана уравнением у = f(х). Требуется провести касательную к кривой в данной точке М(х,у), где у = f(х). Так как точка касания дана, то для решения задачи необходимо найти угловой коэффициент искомой касательной, т.е. k = tgα, где α - угол наклона касательной к оси Ох.
Выберем на той же кривой точку М1(х+∆х,у+∆у), где у+∆у = f(х+∆х). Отсюда ∆у = f(х+∆х) ‒ у или ∆у = f(х+∆х) ‒ f(х). Проведем через точки М и М1 секущую ММ1 и обозначим угол ее наклона через φ.
0.3.1. Касательной к данной кривой у = f(х) в точке М называется предельное положение секущей ММ1 при стремлении точки М1 к точке М по кривой (т.е. при ∆х→0).
Если М1→М при ∆х→0, то и Из рисунка видно, что Следовательно, или . (2) Равенство (2) можно переписать в виде . Таким образом, угловой коэффициент k касательной к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х есть производная f′(х).
Если точка касания М имеет координаты (х0,у0), то угловой коэффициент касательной k = f′(х0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, которое имеет вид: у ‒ у0 = k(х ‒ х0), можно записать уравнение касательной к кривой у = f(х) в точке М(х0,у0): . 0.3.2. Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной называется нормалью к кривой.
Используя условие перпендикулярности прямых на плоскости, получим уравнение нормали: , при условии, что . Вопрос 4. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности О.4.1.Функция у = f(х) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде ∆у = А∆х + α(∆х) ∆х, (3) где А – некоторое число, не зависящее от ∆х; α(∆х) - функция аргумента ∆х, являющаяся бесконечно малой при ∆х→0, т.е. . Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке. Т.4.1.(связь между дифференцируемостью и существованием производной в точке) Для того чтобы функция у = f(х) была дифференцируема в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
В этом случае в равенстве (3): А = f′(х).
Следующая теорема устанавливает связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. Т.4.2. (связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции) Если функция у = f(х) дифференцируема в точке х, то в этой точке она непрерывна. Замечание Обратная теорема не верна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.
Пример 2. Функция непрерывна в точке х =0, но не имеет производной в этой точке (т.к. в точке х = 0 графика функции не существует касательной).
Следовательно, непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. О.4.2.Функция у = f(х), дифференцируемая в каждой точке множества Х, называется дифференцируемой на множествеХ.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (446)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |