В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде
Для системы сил, лежащей в плоскости xОy, последнее уравнение удовлетворяется тождественно. Если равнодействующая
Доказательство. Пусть система трех сходящихся сил
Но система двух сил, согласно аксиоме 1, находится в равновесии только в том случае, если эти силы направлены по одной прямой. Следовательно, линия действия силы ![]() ![]() ![]() ![]() Эта теорема используется при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил,
Пример. Земляная насыпь подпирается вертикальной каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены Расчет плоских ферм.Пример решения задач на равновесие тел дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами.Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть
направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Мы будем рассматривать жесткие плоские фермы, образованные из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов
Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Для определения усилий в стержнях рассмотрим два способа. Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов. Ход расчетов поясним на конкретном примере. Рассмотрим изображенную на рисунке ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников. Действующие на ферму силы параллельны оси х и численно равны Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны: Определим теперь усилия в стержнях. Пронумеруем узлы фермы. Искомые усилия в стержнях обозначим Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия. Для каждого узла мы можем составить два уравнения равновесия. Поэтому число неизвестных усилий, входящих в эти уравнения не должно быть больше двух. (Заметим, что если в узле сходятся только два стержня и к узлу не приложена ни активная сила, ни реакция опоры, то усилия в стержнях, сходящихся в этом узле равны нулю). В нашей ферме этому условию удовлетворяют узлы 1 и 6. Начнем расчет с узла 1. Составим для него два уравнения равновесия:
Отсюда находим: Теперь, зная
Наконец, для вычисления Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут,остальные стержни сжаты, стержень 7 не нагружен. Если в ходе расчета встретится узел, для которых число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.
Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуются определить усилия, и рассматривают равновесиеодной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия по второй или по третьей форме условий равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.
Пример.Пусть требуется определить усилие в стержне ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда находим В данном примере
Усилия в стержнях 4 и 5 можно найти, составляя уравнения моментов относительно центров В (точка пересечения стержней 5 и 6) и А (точка пересечения стержней 4 и 6).
Чтобы определить усилие в стержне 9 той же фермы, проводим сечение ![]()
откуда находим Примеры. Пример 1. К веревке AD, один конец которой закреплен в точке A, привязаны в точке D груз P и веревка BCD, перекинутая через блок; к концу ее привязана гиря Q весом 10 кН. Определить, пренебрегая трением в блоке, натяжение T веревки и вес груза P, если углы, образуемые веревками с вертикалью Решение. Рассмотрим равновесие узла B. Этот узел находится в равновесии под действием активной силы
Подставляя сюда вместо ![]()
Пример 2. На двух взаимно перпендикулярных гладких наклонных плоскостях AB и BC лежит однородный шар весом P=6 кН. Определить давление шара на каждую из плоскостей, считая, что плоскость составляет с горизонтом угол 600 Решение. Составим уравнения равновесия, (рис. 15):
Отсюда находим, что ![]()
Пример 3. Определить реакции опор и усилия в четырех невесомых стержнях плоской фермы (рис. 16). Дано: Решение. 1. Определим реакции опор. Линии действия двух сил Уравнение равновесия данной системы сил имеют вид
Отсюда получим Так как модуль реакции 2.
Определим усилия в стержнях 1, 2, 3, 4. Для этого вырежем (мысленно) сначала узел В, где соединены два стержня, 1 и 2. К узлу B приложим реакции стержней ![]() ![]() ![]()
где ![]() Отрицательный знак модуля усилия Вырежем теперь узел D. Усилие Из уравнений равновесия узла D имеем:
Следовательно ![]() ![]() Проверим решение графическим методом. Построим в масштабе замкнутые силовые треугольники для узлов и, в каждом по известной силе и известным линиям действия двух сил, рис. 19, 20. Из этих треугольников следуют те же результаты, которые получены аналитическим методом.
Пример 4. Определить усилия в невесомых стержнях пространственной фермы, состоящей из шести невесомых стержней. Стержни соединены в узлах и с опорами в вершинах прямоугольного параллелепипеда шарнирами как показано на рис. 21. В прямоугольном параллелепипеде ABCOKEDL с ребром параллельным оси z равным a=3 м имеем уголы:
Решение. Из
Вырежем узел B и заменим отрезанные стержни их реакциями, предполагая эти стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия для узла B, в котором соединены три стержня.
Отсюда
Таким образом, стержни 1, 2 растянуты, стержень 3 сжат. Вырежем теперь узел E . Заменим отрезанные стержни их реакциями, предполагая стержни растянутыми. При этом модули реакций стержня 3 в узлах B и E равны
Отсюда
Следовательно, стержни 4 и 5 сжаты, стержень 6 растянут.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1127)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |