ТИПОВЫЙ РАСЧЕТ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
ВАРИАНТ 12.
Необходимо: 1. Рассчитать напряженность электрического поля, электрическое смещение и электрический потенциал в точках А (rА = 0,5 см), В (rВ = 1,5 см), С Рис. 1. (rС = 3,5 см) и D (rD = 5 см). Принять начало отсчета потенциала на оси симметрии системы. 2. Построить графики E (r), D (r) и φ (r). 3. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границах диэлектриков. 4. Рассчитать энергию электрического поля заданной системы, приходящуюся на единицу длины в цилиндре радиуса rD = 5 см. 5. Определить поверхностную плотность свободных зарядов на внутренней и внешней поверхностях металлической трубы. 6. Рассчитать потенциальную энергию электрического диполя pe = 1×10-28 Кл∙м, находящегося в точке D и ориентированного под углом α=π к радиальному направлению. Определить момент сил, вращающих электрический диполь.
Решение: 1. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности, электрические смещения и потенциалы электрического поля, лежат в четырех областях (рис. 2): область I (rА < R1), область II (R1 < rВ < R2), область III (R3 < rС < R4) и область IV (rD > R4). Для определения напряженности ЕА в области I проведем цилиндрическую поверхность SА радиусом rA и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство
где Еп — нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Так как площадь сферы не равна нулю, то EА = 0, т. е. напряженность поля Рис. 2.во всех точках, удовлетворяющих условию rА < R1, будет равна нулю. Электрическое смещение D связано с напряженностью Е электрического поля соотношением
где ε — диэлектрическая проницаемость среды; ε0 — электрическая постоянная Так как, в области I EА = 0, то из формулы (2) следует, что DА = 0. Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,
Запишем связь между объемной плотностью заряда ρ и зарядом Q по следующей формуле:
Здесь, V – объем, занимаемый зарядом; Т.об., подставляя (4) в (3), получаем окончательную формулу для нахождения значения потенциала в точке А, т.е.
В области II цилиндрическую поверхность проведем радиусом rВ. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1 то для нее, согласно теореме Остроградского — Гаусса, можно записать равенство
Так как Еп = ЕB= const, то из условий симметрии следует
Подставив сюда выражение площади круга S2, а также формулу (4), получим следующее выражение:
Используя формулу (2), найдем значение электрического смещения в точке В
Используя формулы (3) и (4), вычислим значение потенциала в области II.
В области III цилиндрическую поверхность проведем радиусом rС. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем
или Используя формулу (2), найдем значение электрического смещения в точке С
Т.об., Для нахождения потенциала в области III воспользуемся формулой (3) и формулой, нахождения заряда Q2 через линейную плотность заряда τ, т.е.
Используя формулы (3) и (9), вычислим значение потенциала в области III.
или В области IV цилиндрическую поверхность проведем радиусом rD. Эта поверхность также охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет также иметь вид
Для нахождения значения ЕD в точке D, воспользуемся формулой (7) из предыдущего вычисления. Таким образом, получаем, или Аналогичным образом, вычислим электрическое смещение DD и потенциал φD в точке D области IV по формулам (8) и (10), т.е.
Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. 3. Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
В нашем случае сказано, что поверхностная плотность определяется в области III, где
Таким образом, получаем
4. Энергию электрического поля Wr заданной системы, приходящуюся на единицу длины в цилиндре радиуса rD рассчитаем по следующей формуле:
В области IV цилиндрическую поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Следовательно, для нее уравнение (13), с учетом потенциала φD, запишется в следующем виде:
Таким образом, получаем,
5. Поверхностную плотность свободных зарядов на внутренней (R2 = 2 см) и внешней (R3 = 3 см) поверхностях металлической трубы определим, воспользовавшись формулой (11). Учтем при этом, что заряд Q определяется по формуле (4). Тогда получаем, для внутренней поверхности:
Аналогично, и для внешней поверхности с радиусом R3:
6. Потенциальную энергию электрического диполя pe = 1×10-28 Кл∙м, находящегося в точке D и ориентированного под углом α=π к радиальному направлению определим по следующей формуле:
где E = ED – напряженность электрического поля, создаваемое зарядами нашей цилиндрической системой в точке D. Т.об, получаем, Механический момент сил, действующий на диполь с электрическим моментом
Т.к. sinα = π = 0, то из формулы (15) следует, что М = 0.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1241)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |