Признак существования предела функции
Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, при предела не имеет, хотя . При решении некоторых задач бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции, а числовое значение предела при этом имеет второстепенную роль. В таких случаях пользуются признаками существования предела. Укажем такой признак.
Теорема. Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если , , , то .
Два замечательных предела Замечательными (вследствие большого числа их приложений) в математике называются пределы двух следующих функций, когда их аргумент х стремится к нулю: и .
Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице: .
Это равенство указывает на тот факт, что при очень «небольших» значениях х . Первый замечательный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.
Второй замечательный предел Можно доказать, что функция при стремится к числу е: . Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 ( …). Число е служит основанием натуральных логарифмов ( ) и играет важную роль в математике. Дадим другое выражение для числа е. Полагая ( , т.к. ), будем иметь .
Оба равенства называют вторым замечательным пределом. С помощью числа е удобно выражать многие пределы. Замечание. Показательная функция вида называется экспоненциальной, употребляется также обозначение .
Эквивалентные бесконечно малые Пусть и − бесконечно малые функции при (или ), т.е. и . Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Обозначается: . Например, при , т.к. . Для эквивалентных бесконечно малых справедливы следующие свойства: 1. Если при , то . 2. Если и при , то при . 3. Если и при , то , т.е. предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых. Последнее свойство означает, что при нахождении предела, можно бесконечно малые, стоящие в числителе или в знаменателе или в обоих, заменять эквивалентными им величинами, в частности, более простыми. Такой прием часто применяют при вычислении пределов функций. Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которыми пользуются при вычислении пределов функций:
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2893)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |