Задание для студентов
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6. Тема: «Решение дифференциальных уравнений различных видов». Теоретические сведения. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 1. Выражают производную функции через дифференциалы и . 2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку. 3. Разделяют переменные. 4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение. 5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка. 1. Определить вид дифференциального уравнения первого порядка: А) Б) , где . 2. В зависимости от вида уравнения выбрать алгоритм: А.1. Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение: Данное уравнение примет вид: . А.2. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы вынести за скобку: . Из скобки, приравняв её к нулю, найти функцию . А.3. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят функцию . А.4. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство : А.5. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение. Б.1. Определить значения и , и записать общее решение в виде: . Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представим в виде таблицы.
Задание для студентов. Выбор параметров т и п. Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры зачетной книжки (студенческого билета) (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 выбрать параметр n. Эти выбранные два числа m и n нужно подставить в условия всех задач контрольной работы. Таблица 1 (выбор параметра m)
Таблица 2 (выбор параметраn)
1. Найти общее решение уравнений: 2. Составить уравнение: Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным m, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила n миллионов рублей. 3. Решить задачу Коши: 4. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) ; б) ; в) . Примеры решения задач: Пусть m=6,n=7 1. Найти общее решение уравнений: а) ; ; ; ; ; - общий интеграл уравнения. б) Это уравнение Бернулли. Положим . Подставляя в исходное уравнение , , сгруппируем члены, содержащие в первой степени.
Для отыскания имеем уравнение . Разделяем переменные и интегрируем: ; ; ; , . Следовательно, 2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным m, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила n миллионов рублей. Решение: m =4 и n=3 Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом, равным 4, величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составила 3 миллионов рублей. По своему смыслу производная это скорость. Пусть банковский вклад – функция y(t). Тогда согласно условию задачи получим дифференциальное уравнение: , , Значение величины С найдем из условий: y(0)=3. , . Итак, закон изменения величины вклада со временем .
3.Решить задачу Коши: а);
Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: , , или , . Значит, общее решение уравнения имеет вид:
Частное решение уравнения найдем из условий: . Получаем систему:
Решив систему, получим . Итак, частное решение уравнения: . б) , Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: . Решение данного уравнения: . Значит общее решение однородного уравнения: . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: . Итак, , Таким образом, имеем систему: , т.е. . в) , Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: . Решение характеристического уравнения: . Тогда общее решение однородного уравнения: . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: . Итак, Таким образом, имеем систему: , т.е. . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид . Найдем , используя начальные условия . или . Отсюда , т.е.
4.Решить систему линейных уравнений с начальными условиями : . Решение: Продифференцируем по t первое ; исключая из полученного уравнения и , имеем , , , . Характеристическое уравнение имеет корни: . Следовательно, общее решение для х запишется в виде: . Общее решение для у находим из первого уравнения: Итак, , . Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных: . , Отсюда: , . Таким образом, искомое решение имеет вид: , .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (862)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |