Классификация точек разрыва
Непрерывность функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
т.е.
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны. Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ). Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0]. Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел
Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны
Непрерывность сложной функции Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x))непрерывна в точке х0. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения. Локальные свойства непрерывных функций Теорема 3(ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность O(x0), в которой f(x)ограничена. Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел. Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то существует окрестность точки x0, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x0). Классификация точек разрыва Условие (1) непрерывности функции f(x) в точке x0 равносильно условию
где f(x 0 − 0) =
f(x) и f(x0 + 0) =
f(x) — односторонние пределы функции f(x) в точке x0. При нарушении условия (3) точка x0 называется точкой разрыва функции f(x). В зависимости от вида нарушения условия (3) точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом: 1. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и
то точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x) (рис. 1). Замечание. В точке x0 функция может быть не определена. 2. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и
то точка x0 называется точкой разрыва с конечным скачком функции f(x) (рис.2). Замечание. В точке разрыва с конечным скачком значение функции может быть любым, а может быть и не определено. Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов f(x0 − 0) и 3. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0), f (x0 + 0) равен бесконечности или не существует, то x0 называется точкой разрыва 2–го рода (рис. 3). Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0), f (x0 + 0) равен бесконечности, то прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (426)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |