Комплексные переменные
При изучении алгебры и начал анализа в средней школе мы сталкивались с рядом запретов. Эти запреты были естественными для функций, имеющих значения в множестве вещественных чисел. Так, нельзя было извлекать квадратный корень из отрицательного числа, нельзя было рассматривать логарифм отрицательного числа, нельзя было рассматривать арксинус числа, большего по модулю единицы. Действительно, в множестве вещественных чисел нет таких, которые удовлетворяли бы, например, уравнениям: Возникает вопрос: если нет вещественных чисел, удовлетворяющих предыдущим уравнениям, то, может быть, следует расширить понятие числа, выйдя с вещественной оси на плоскость?
Революцией в этой области явилось открытие формулы, называемой формулой Эйлера:
где Мы сами можем убедиться в правильности формулы Эйлера, если используем известные разложения функций
Итак, комплексные числа – это числа, для геометрической интерпретации которых недостаточно одной прямой, а нужна вторая прямая, где можно было бы размещать вторую координату – коэффициент при мнимой единице. Поскольку элементы, задающиеся парой вещественных координат, проще всего представлять точками декартовой плоскости, наилучшей интерпретацией множества комплексных чисел является плоскость. Представим себе декартову плоскость, в которой роль оси OX исполняет вещественная прямая, а роль оси OY – «мнимая ось», вдоль которой откладывают коэффициент при чисто мнимой единице i. Предположим, мы решаем уравнение Таким образом, комплексное число z представляет собой сумму z = x + i y, где компонента x называется вещественной частью z (x = Re z), компонента y называется мнимой частью z (y = Im z). Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них совпадают как действительные, так и мнимые части. Два комплексных числа называются взаимно сопряженными, если у них совпадают действительные части, а мнимые части различаются знаками. На нашем рисунке мы как раз имеем два взаимно сопряженных комплексных числа. Операция комплексного сопряжения означает смену знака у мнимой части и обозначается надчеркиванием. Например, Введенная нами форма записи комплексного числа в виде линейной комбинации действительной и мнимой частей называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Точка на плоскости необязательно задается с помощью декартовых координат. Другим возможным способом задания точки M на плоскости является задание расстояния ( r ) от точки M до фиксированной точки O, называемой полюсом, и угла ( Легко видеть, что связь между декартовыми и полярными координатами такая: Если комплексное число задавать полярными координатами, то координата
Нетрудно заметить, что аргумент комплексного числа по известным значениям его вещественной и мнимой частей определяется неоднозначно – с точностью до слагаемого Наконец, применяя формулу Эйлера, получим запись комплексного числа в показательной форме:
Перевод комплексного числа из алгебраической в показательную форму с помощью пакета программ MAXIMA осуществляется по команде polarform.Например, если ввести команду polarform(3-4*%i)нажать Shift+Enter, мы получим
Множество комплексных чисел обозначается С. Введем правила арифметических действий с комплексными числами. 1. Для 2.Для 3.Для 4.Для Возможно применение пакета MAXIMA при произведении действий с комплексными числами. Например, команда ractform((3+4*%i)/(4-3*i))и нажатиеShift+Enter даст значение i.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (371)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |