Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство): . 2. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения: . 3. Скалярное произведение двух векторов подчиняется распределительному закону: . 4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны или один из них равен нулю. 5. , т.е. - скалярный квадрат. Таким образом
Скалярное произведение в координатной форме.
Пусть и . Тогда (2) Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат. Пример. .
Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.
По свойству (5): , но и (3) Расстояние между двумя точками А и В равно
Угол между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
Из определения скалярного произведения следует: . По формулам (2) и (3) имеем: Условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме имеет вид:
Векторное произведение двух векторов.
Скалярное произведение двух векторов - число, а Векторное произведение или - вектор. Векторным произведением двух векторов и , взятых в определенном порядке, называется третий вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; направлен вектор перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , причем в ту сторону, откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. Обозначается: или . Модуль векторного произведения:
Механический смысл векторного произведения.
.Поэтому , . Момент силы, приложенной к точке А есть векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы и силы . Направлен вектор вдоль оси вращения.
Свойства векторного произведения.
1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. 2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный: (видно из чертежа) 3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения. a) площади параллелограммов слева и справа равны. b) Направление векторов и совпадают. 4. Имеет место распределительный закон: (без доказательства) 5. , т.к. ц=0.
Векторное произведение в координатной форме.
Пусть и
Этот определитель – символический, т.к. первая строка состоит не из чисел, а из векторов. Пример. Даны три точки: А (2, -1, 0); В (3, 1, 2) и С (-1, 0, 1). Найти площадь ДАВС. 1. Найти длины , и и воспользоваться формулой Герона. 2. .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (877)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |