Линейные диф. уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка
Системы линейных диф. уравнений. Система диф.уравнений называется линейной,если она линейна относительно неизвестных ф-ий и их производных. Систему n-линейных уравнений 1-го порядка записывают в виде:
Эту систему удобно записывать в матричной форме: где
Теорема 1: Если все коэф-ты матрицы А непрерывны на некотором промежутке Действительно, в таком случае правые части системы непрерывны по совокупности аргументов Методы решения СЛДУ 1. Систему диф.уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению. Пример: Решить систему уравнений: Решение: исключаем z из данных уравнений. Из первого уравнения имеем Данная система уравнений (1)приведена к одному уравнению второго порядка. После того, как из этого уравнения будет найдено y, следует найти z, пользуясь равенством 2.При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций. Продолжение 27б Пример:Решить систему Решение: Решим данную систему методом Эйлера. Запишем определитель для нахождения характеристического уравнения: Общее решение имеет вид:
1)
Записываем решение для 2)
Записываем решение для Получаем общее решение: Выполним проверку: найдем Получаем:
Линейные диф. уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка. Линейным диф.уравнением n-го порядка наз-ся уравнение вида: Если в этом ур-ии коэф-т Обычно рассматриваются уравнения типа (2).Предположим, что в ур-и (2)все коэф-ты Опр.: особыми точками являются те, в которых Свойства линейного уравнения:
Опр.:если в уравнение (2)положить f(x)=0, то получится уравнение вида:
Введем в рассмотрение линейный диф-й оператор:
Из этих двух свойств можно вывести следствие: Функция y=y(x) является решением неоднородного уравнения (2),если L(y(x))=f(x), тогда f(x) наз-ся решением уравнения. Значит решением уравнения (3) наз-ся функция y(x), если L(y(x))=0 на рассмотренных промежутках. Рассм. неоднородное линейное уравнение: Будем считать, что все Предположим, что мы нашли каким-либо способом частное решение Введем новую неизвестную функцию z по формуле: Подставим её в уравнение: Полученное уравнение можно переписать в виде: Поскольку Таким образом, мы получили однородное уравнение относительно z. Общим решением этого однородного уравнения является линейная комбинация: Таким образом, общее решение неоднородного лин. уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного линейного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. (продолжение на той стороне) 30. Теорема существования и единственности решения диф. уравнения Теорема:Если в уравнении Доказательство: Рассмотрим полное метрическое пространство С,точками которого являются всевозможные непрерывные функции y(x), определенные на отрезке Заменим диф. уравнение с данными начальными условиями на равносильное ему интегральное уравнение: Пользуясь неравенством Липшица, мы можем записать, что расстояние
Согласно принципу сжимающих отображений существует единственная точка или, что то же самое, единственная функция – решение диф.уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1080)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |