Оператор прямой задачи гравиметрии для структурных задач имеет вид (2.4)
, (7.66)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5603.gif)
что в операторной форме имеет вид
.
Перепад плотности
на границах может быть функцией горизонтальных координат.
Особое значение имеет случаи, когда поле задано на поверхности рельефа в той, либо иной, системе точек, образующей множество
. Для того чтобы подчеркнуть эти обстоятельства и конечность области
- проекции на
носителя аномальные массы будем, по аналогии с (19), использовать операторное обозначение для (66):
(7.67)
Запись
будем использовать в случае, когда поле задано всюду на
( рельеф плоский,
), область
конечна и регулярна, либо бесконечна и тогда границы выходят на асимптоты. В последнем случае асимптоты должны быть горизонтальными плоскостями, существенное отличие от которых поведения границ имеется только в конечной подобласти
.
Как для случая (66) , так и (18) следует учитывать при расчетах, что для принципиальной возможности сопоставления
с наблюдаемой компонентой гравитационного поля должны быть учтены массы, расположенные вне постулированной области
для случая (19), и имеющие проекцию своих источников на
, выходящую за
. Для структурных задач это имеет особо важное значение. Здесь нельзя отождествлять интерпретируемую компоненту поля, которая укладывается в рамки модели задачи (67), и наблюдаемую, существенно от нее отличающуюся, прежде всего, за счет влияния того, что реальные границы имеют продолжение за
. Именно для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство в (66) для интерпретируемой компоненты поля использована запись
, а не
подчеркивающая, что это приращение поля относительно иных источников. Выделенная компонента, ответственная за гравитационное влияние плотностных границ внутри области, ограниченной на поверхности наблюдений площадью
. Это влияние называется влиянием боковых зон. Оно достаточно очевидно учитывается для двухмерного случая, но требует серьезных дополнительных предположений в трехмерном. При рассмотрении конкретных алгоритмов моделирования гравитационного поля для структурных задач следует особо внимательно отнестись к тому, как учитывается влияние боковых зон и особенно в трехмерном случае. Никакие надежды на то, что этот вопрос «сам собой решиться» за счет использования достаточно больших областей
неоправданны. Погрешности, связанные с не учетом влияния боковых зон велики, как при решении региональных, так зональных и локальных, задач.
Оператор (66) отображает систему из
плотностных границ
, рассматриваемой как
в некоторый элемент из функционального пространства на
. В качестве такого может выступать
с мерой
, учитывающей способ задания поля
. Это отображение является частным случаем и по этой причине наследует свойства оператора (18). Однако, в отличие от (18) является нелинейным.
Справедлив следующий результат.
есть множество первой категории в
;
Существует константа
такая, что
.
Это очевидные следствия аналогичных результатов для (1).
Для характеристики экстремальных классов, соответствующих уравнению (66) воспользуемся результатами 5.6.1. и, в частности, соотношением (5.59) для решения задачи (5.58). Аналогом (5.58) будет:
(7.68)
где
линейный замкнутый оператор, отображающий
в себя. Операторы
могут быть операторами свертки с некоторыми заданными функциями
, либо операторами умножения на весовые функции. Содержательная запись этой задачи такова:
(7.69)
Здесь
- нулевые приближения к изучаемым границам (см. также 5.1). Компоненты задачи схематично изображены на рис.7.3.
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5652.gif)
Для характеристики экстремального класса
необходимо вычислить сопряженный к производной оператора
. Производная (Фреше) оператора
в «точке» f (s) есть линейный оператор
действующий на N+1-мерную функцию h(s) с компонентами hi(s), i=0,1,2,..N и имеющий область значений, включаемую в область значений оператора
:
| (7.70)
|
Принимая относительно области значений оператора (70), те же допущения, что и в цепочке равенств (10) для определения сопряженного оператора -
, получим:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5668.gif)
Отсюда следует, что значение сопряженного к
оператора на элементе j(s0) есть N+1 вектор, i-ая компонента которого:
| (7.71)
|
Отсюда следует аналог (5.59) для характеристики
:
| (7.72)
|
i=0,1,…N.
Например, в том частном случае, когда оператор
состоит в умножении на неотрицательную весовую функцию
имеющую смысл оценки среднеквадратичной погрешности построения нулевого приближения[32], (72) перепишется:
| (7.73)
|
Для случая, когда дополнительно и поле задано в конечном множестве точек
- атомическая мера на
, характеристика экстремального класса (72) примет другой частный вид:
(7.74)
Также как и для задачи в классе распределений плотности, дадим характеристику экстремального класса
.Здесь для простоты доказательств используется оператор, определяющий поле на горизонтальной плоскости (
, и, кроме того, принимается, что область
совпадает с
. Возникающие несобственные интегралы, в этом случае, будем понимать в смысле главного значения. С этой целью рассмотрим задачу:
;
|
(7.75)
|
Далее мы намерены доказать, что необходимым условием для ее решения, при определенных ограничениях на
служит:
, (7.76)
где
непрерывная функция, одна и та же для всех
.
Это условие служит характеристикой экстремального класса
.
Утверждение.Пусть решение задачи (75) существует, а уравнение (69) (первое уравнение в (75)) имеет решение
на классе функций с представлением (76). Тогда, если
и
таковы, что:
- множество непрерывных на
функций
, для которых
(7.77)
состоит только из нуля;
- Для любой абсолютно и интегрируемой на
функции
:
, (7.78)
где
сопряженный к
оператор, а
- непрерывная и абсолютно интегрируемая по любой комбинации переменных
функция, а
и не равно нулю тождественно[33], то решение уравнения в (75) на классе с представлением (76) есть решение задачи (75) и элемент экстремального класса
.
Доказательство.
Пусть решение задачи (75) существует и есть
. Это значит, что для всех вариаций
, где
принадлежит касательному к
.
Функционал
принимает минимальное значение при
. Касательное множество к
в точке
есть ядро оператора
и состоит из таких
, что:
(7. 79)
В сокращенной записи
.
Условие (79) эквивалентно:
(7.80)
Но поскольку
и
таковы, что для всех
удовлетворяющих (80), функционал
достигает минимума при
, то
должно быть решением задачи
(7.81)
(7.82)
Функция
, вообще говоря, неизвестна. Это некоторая такая функция, которая будет доопределена после того, как будут найдены необходимые условия для искомого элемента
за счет использования уравнения в (75), которое, в этом смысле заменяет (81).
Обозначим
через
Тогда от задачи (81-82) простой заменой переменных приходим к
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5774.gif)
Что в содержательных обозначениях переписывается:
(7.83)
Далее воспользуемся аппаратом теории двойственности для решения экстремальных задач. Поскольку
линеен (относительно искомого
) и ограничен (из
в
), а функционал в (83) есть норма в пространстве
, то решение (83) существует, хотя может и быть неединственным. Для того, чтобы
было решением, необходимо и достаточно, чтобы в сопряженном к
пространстве нашелся функционал
такой, что
; (7.84а)
; (7.84 б)
. (7.84в)
Все дальнейшее состоит в доказательстве того, что если
имеет все компоненты, равные друг другу
, то в условиях сформулированного утверждения, функционал
, обладающий свойствами (84а-в), действительно существует. Отсюда и следует, что решение задачи (75) имеет вид (76) с ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5801.gif)
Из (84 в) следует, что
принадлежит * - слабому замыканию (см. теорему у ядре в прил. 2.4) в
множества ортогонального к
. Но
, где замыкание понимается, а * - слабой топологии. Но
состоит из векторнозначных функций, компоненты которых есть:
. (7.85)
Действительно:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5815.gif)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5817.gif)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5819.gif)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5821.gif)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5823.gif)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza6/2278341109195.files/image5825.gif)
Тогда
(7.86)
Если в (86) все
равны между собой, то (86) трансформируется в функционал на
и соотношения (84а) и (84б) будут очевидным следствием, во-первых, всегда выполняющегося по определению равенства:
,
выражающего значение нормы через верхнюю грань значений функционалов, а во-вторых, плотности множества сумм функций с представлением (85) в единичном шаре пространства
. Но в силу условия о нулевом ядре оператора (87) получаем, что множество значений оператора
(7.87)
плотно в
.
Утверждение доказано.