Достаточные признаки сходимости ряда
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены. 1. Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.
Теорема (Первый признак сравнения). Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости. Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд . Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.
Теорема. (Второй признак сравнения) Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие то ряд расходится. Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера. Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда . , ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда , ряд сходится.
Признаки Коши.
Радикальный признак Коши: Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство , то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.
Пример. Определить сходимость ряда . , ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда . Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. , таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши: Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1.
Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (475)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |