Однородные ДУ. Уравнения сводящиеся к однородным
Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решение – функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Если искомая функция зависит от одной переменной – ДУ называют обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных. Наивысший порядок Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения. Общее, частное решение (интеграл), особое решение. F(x;y;y’)=0 – ДУ 1-го порядка(1) y’=f(x;y) ДУ, разрешенное относительно производной(2) P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 – дифференциальная форма(3) Задача отыскания решения ДУ 1-го порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию ( y(x0)=y0 ), называется задачей Коши. Т. Если в уравнении (2) функция f(x;y) и ее частная производная fy’(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x0;y0), то существует единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию. Общее решение - функция y=φ(x;с) содержащая произвольную постоянную. Частное решение – функция y=φ(x;с0) полученная из общего решения при значении постоянной с=с0. Если общее решение найдено в неявном виде Ф(x;y;c)=0, то оно называется общим интегралом ДУ. А Ф(x;y;c0)=0 частный интеграл уравнения. Функция φ(x;c) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Метод изоклин Уравнение y’=f(x;y) устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой. ДУ дает поле направлений на плоскости Оxy. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины f(x;y)=с. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение с разделенными переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0 Общий интеграл ДУ: Уравнение с разделяющимися переменными: P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0 Однородные ДУ. Уравнения сводящиеся к однородным Функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn, т.е. f(λ x; λ y)= λn f(x;y). ДУ y’=f(x;y) называется однородным если функция f(x;y) есть однородная ф-я нулевого порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 дифференциальная форма однородного ДУ Уравнение вида можно свести к однородному типу. Нужно составить систему вида: Тогда, для приведения уравнения к однородному типу необходимо сделать подстановку вида
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (975)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |