Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Рядом Тейлора, расположенным по степеням (x – x0), для функции f(x) называется степенной ряд (13) где …, … – производные функции f(x) в точке При x = 0 ряд Тейлора, расположенный по степеням х, имеет вид . (14) Формула (14) представляет частный случай формулы Тейлора (13). Формула (14) называется формулой Маклорена.
Пример 18.Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 2).
Решение Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …, при x0 = 2: 1) значение функции f(x0) при x0 = 2: f(x0) = f(2) 2) производную первого порядка: ее значение при x0 = 2: 3) производную второго порядка: ее значение при x0 = 2: 4) производную третьего порядка: ее значение при x0 = 2:
Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение при x0 = 2: Подставив x0 = 2, а также найденные значения функции f(x) и производных f ¢(x0), …, f (n)(x0) при x0 = 2 в формулу (13), получим
Пример 19.Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням х (т. е. составить ряд Маклорена). Решение Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …, при x0 = 0: 1) значение функции при x0 = 0: 2) производную первого порядка: ее значение при x0 = 0: 3) производную второго порядка: ее значение при x0 = 0: 4) производную третьего порядка: , ее значение при x0 = 0: Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение при x0 = 0: Подставив найденные значения функции f(x) и производных …, при x0 = 0 в формулу (14), получим .
Пример 20.Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5). Решение У функции f(x) нет ряда Тейлора, расположенного по степеням (x – 5), так как функция f(x) в точке x = 5 не определена. Тест 28. Для функции f(x) ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5), имеет вид: 1) ; 2) у данной функции нет ряда, расположенного по степеням (x – 5); 3) ; 4) .
Тест 29.Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора: 1) при x = 1; 2) при x = –1; 3) при x = 0; 4) при x = 5; 5) при x = 2.
Ответы на тестовые задания
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1989. – 656 с. Марков, Л. Н. Высшая математика. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии : учеб. пособие для вузов / Л. Н. Марков, Г. П. Размыслович. – Минск : Амалфея, 1999. – 208 с. Минюк, С. А. Высшая математика : учеб. пособие для вузов / Шипачев, В. С. Высшая математика : учеб. / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. – М. : Высш. шк., 1990. – 479 с. Яблонский, А. И. Высшая математика. Общий курс : учеб. /
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка...................................................................... 3 Программа курса............................................................................... 4 Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия........... 8 1.1. Аналитическая геометрия на плоскости................................... 8 1.2. Векторная алгебра.................................................................... 29 1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве............. 37 1.4. Матрицы.................................................................................... 46 1.5. Системы линейных уравнений и неравенств........................... 69 1.6. Комплексные числа.................................................................. 80
Раздел II. Математический анализ и дифференциальные 2.1. Числовая последовательность и ее предел............................. 91 2.2. Предел функции одной переменной...................................... 103 2.3. Непрерывные функции одной переменной........................... 120 2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной 128 2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях........... 138 2.6. Приложения дифференциального исчисления...................... 148 2.7. Функции нескольких переменных......................................... 161 2.8. Первообразная и неопределенный интеграл......................... 193 2.9. Определенный интеграл......................................................... 200 2.10. Кратные интегралы............................................................... 210 2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения................... 221 2.12. Ряды....................................................................................... 241 Список рекомендуемой литературы............................................. 266
Учебное издание
ВЫСШАЯ ОБЩИЙ КУРС Пособие по подготовке к тестированию для студентов
Авторы-составители: Авдашкова Людмила Павловна Воробей Людмила Александровна Грибовская Марал Атаевна и др.
Редакторы И. А. Михайлова Технический редактор И. А. Козлова Компьютерная верстка Н. Н. Короедова
Подписано в печать 05.10.11. Бумага типографская № 1. Формат 60 ´ 84 1/16. Гарнитура Таймс. Ризография. Усл. печ. л. 15,58. Уч.-изд. л. 15,85. Тираж 300 экз. Заказ №
Учреждение образования «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации». 246029, г. Гомель, просп. Октября, 50. ЛИ № 02330/0494302 от 04.03.2009 г.
Отпечатано в учреждении образования «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации». 246029, г. Гомель, просп. Октября, 50.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (722)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |