Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv)¢ = u¢v + v¢u где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с свойствами неопределенного интеграла: или ! ; {при условии, VdU проще чем UdV} Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. 4. Разложение прав. рац. дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. дробей. Определение: Рац. дробью называется ф-ция: f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва. P(x) = b0+b1x+…+bmxm Q(x) = a0+a1x+…+anxn Если m<n f(x) – правильная дробь m>=n – неправильная дробь Теорема: Пусть знаменатель Q(x) прав. рац. дробь P(x)/Q(x) имеет действ. корень х=а кратности К, сущ. const A ≠ 0, такая, что справедливо равенство: P(x)/Q(x) = P(x)/((х-а)кQ1(x)) = (А/(х-а)к) + (P1(x)/((х-а)к-1Q1(x))), при Q1(а) ≠ 0 Док-во: Составим разность: (P(x)/((х-а)кQ1(x)) – (А/(х-а)к ) = (P(x) – А*Q1(х)) / ((х-а)кQ1(x)) = | A выбираем так, чтобы х=а было корень числ.| = P(a) – Aa1(a) = 0 A = P(a)/ Q1(x), (P(x) – А*Q1(х)) / ((х-а)кQ1(x)) = (a-x)*P1(x) / (a-x)*Q1(x)
Теорема: Пусть знаменатель Q(x) паравільная рац. дробь, P(x)/Q(x) имеет пару комплекс. корней кратности K, кот. соответствуют (х2+px+q) разложению Q(x), тогда сущ. const A и В, что справедливо разложение P(x)/Q(x) = P(x) / (х2+px+q)2*Q1(x) = (Ах+В) / (х2+px+q)2 + P1(x) / (х2+px+q)2*Q1(x).
теоремы разложения следует: всякую прав. рац. дробь можно разложить в сумму простейших рац. дробей типа I – IV и это разложение единственное.
4-5.Интегрирование простейших рациональных дробей. Определение: Рац. дробью называется ф-ция: f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва
Определение: Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов: I. III. II. IV. m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. I. II. Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде: IV. ∫(Ax+B)/(x2+px+q)k*dx = |x+p/2 = t; dx=dt; q-p2/4 = ±m2| =A*∫(d(t2+a2))/2(t2+a2)k + (B-Ap/2)*∫(dt/(t2+a2)k = (A/2)*(1/(1-k))*(1/( t2+a2)k+1) + (B-Ap/2)Jk 6 Интегрирование тригонометрических функций. 1) Интеграл вида . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную. , Тогда Таким образом: Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
2) ∫ соsmx*sinnxdx, где m,n – нат. числа а) пусть m = 2p+1 ∫соs2p+1x*sinnxdx = ∫ (1-cos2x)p*sinnxdx*d(sinx) = ∫ (1-U2)p*UndU, если n=2p+1, то синус выносится под знак диф-ла sin dx = -d(cosx) б) m = 2p, n=2q ∫соs2px*sin2qdx = ∫((1+cos2x)/2)p*((1-cos2x)/2)q*d(sinx)
3) Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов. В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
7. Интегрирование иррац-тей.
1. ∫R(x, n√x)dx, R – рац. выражение – над х и n√x проведено конечное число арифмет. операций. = |x=tk, dx=ktk-∙1dt, k – НОК| = ∫R(tk, t)ktk-1dt
2. Интеграл вида где n- натуральное число. С помощью подстановки функция рационализируется. Тогда 8. Задачи, приводящие к понятию определения ОИ Определение Ньютона:Пусть ф-ция f(x) имеет смысл на [а, b] первообразную F(x), тогда определенным інтегралом ф-ции f(x) на [а, b] называется число F(b) - F(а) а∫bf(x)dx = F(b) - F(а) = F(x)|ab Задачи: (для Римана) 1)площадь криволинейной трапеции 2)масса отрезка с переменной плотностью
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Также верны утверждения:
9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои. 1) 2) ∫abkdx = k(b-a)- вытекает из определения, т.к. ∑k=0n-1f(сиj)дельтахj = ∑k=0n-1 kдельтахj =k ∑k=0n-1 дельтахj = k(b-a) 3) - св-во линейности 4) Пусть ф-ция f(x) кусочно-постоянная на отрезке [a,b], т.е. сущ. разбиение отрезка [a,b] на (xk, xk+1) ф-ция f(x) принимает постоян зн-ние lk: ∫abf(x)dx = ∑ab lk дельта xk 5) 6) - свойство аддитивности 7) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то 8) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. О. Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Также верны утверждения:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (739)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |