Интегральное исчисление
32.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е.
33. Неопределённый интегра́л для функции Если функция
где С — произвольная постоянная. Если 34. 1°. Производная от н.и. равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению: 2°. Свойства 1°, 2° следуют из определения н.и. 3°. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого. Докажем, что
левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной 4°. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.: 5°. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): Частным случаем 5° является Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу 35. Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием 36.Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл 37.Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования: В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где 38. Пусть называется дробно-рациональной функцией , или коротко-рациональной дробью. При m<n эта рациональная дробь называется правильной. 39. Интегралы вида Интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби R(t) путем так называемой универсальной подстановки tg(x/2) = t,
Определенный интеграл 40. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим 41. I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. 42. Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a). 43. ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t Тогда справедливо следующее равенство: Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. 44.Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральнаяфункция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы для неопределённого интеграла: для определённого: 45. Пусть функция Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему
46. Для определения длины дуги Рассмотрим случай параметрического задания кривой: где
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (456)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |