Бесконечно малые последовательности
Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0. an – бесконечно малая Û lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется n®+¥ |an|<ε Важные примеры бесконечно малой последовательности: 1)an=1/n Докажем, что для любого ε>0 |1/n|<ε Þ 1/n<εÞ n>1/εÞ N[1/ε]+1 Свойства бесконечно малой последовательности. Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое. anbn®бесконечно малое Þ an+bn – бесконечно малое. Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое. an,bn – бесконечно малое Þ anbn – бесконечно малое. Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность аn – ограниченная последовательность an –бесконечно малая последовательность Þ anan – бесконечно малая последовательность. Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел. lim an=a Û an=a+an n®+¥ Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+an где an – бесконечно малая. Вещественные числаэто все числа, которые можно расположить на числовой прямой. В любом случае, их бесконечно много, ими могут быть любые дроби, целые и натуральные числа, т.к. вещественные числа это надмножество всех остальных (кроме комплексных). Теорема о вложенных отрезкахДля всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Рассмотрим множество левых концов наших отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков , поскольку Очевидно, что 1) 2) В силу аксиомы непрерывности, существует точка С, разделяющая эти два множества, то есть в частности Последнее неравенство означает, что С — общая точка всех отрезков данной системы. 2. Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки с и с|, принадлежащие всем отрезкам системы: Тогда для всех номеров n выполняются неравенства: В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство Взяв в этом неравенстве , получим Противоречие. Лемма доказана полностью. Предел последовательности. Предел последовательности числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n³N выполняется модуль разности Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0 Зададим любое ε>0, хотим чтобы |(-1)n-0|<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε Þ n>1/ε N=[1/ε]+1 ε=0.01 N=[1/0.01]+1=101 |an|<0.01, если n³101 * * * an=1-1/n2 lim(1-1/n2)=1 n®+¥ Для любого ε>0 |(1-1/n2)-1|<ε |-1/n2|<ε Þ 1/n2<ε Þ n2>1/ε Þ n>1/Öε N=[1/Öε]+1 Теорема о единственности предела. Если - сходящаяся, то предел единственный. Доказательство. Пусть для определённости имеем: . Получили противоречие предел единственный. Теорема. Сходящиеся последовательности ограничены. Доказательство. Пусть при , - бесконечно малая последовательность. , где , 5) Теорема о сжатой переменной Доказательство: аn<bn<cn начиная с некоторого N
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2601)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |