Замена переменных в тройных интегралах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: 1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными; 2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw; 3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: В приведенном выражении Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах - Тройные интегралы в цилиндрических координатах - Тройные интегралы в сферических координатах Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат. Пример 1 Найти объем области U, заданной неравенствами
Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов. Сделаем следующую замену: Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами Объем тела равен Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования: Тогда Следовательно, объем тела равен 68 Криволинейные интегралы первого рода Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл
Криволинейный интеграл
Рис.1 Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами: 1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;
2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением
4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением
5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением
6. В полярных координатах интеграл
где кривая C задана в полярных координатах функцией Пример 1 Найти интеграл Решение.
Рис.3 Рис.4
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (891)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |