Матрицы. Операции с матрицами
Определение 1.1. Числовой матрицей размера m´n, где m – число строк, n – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определённом порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки i и номером столбца j, на пересечении которых он находится:
Иногда коротко пишут т. е. i меняется от 1 до m, j – от 1 до n. Замечание. Матрица размерностью состоит из одного элемента и равна этому элементу. Далее рассмотрим специальные виды матриц. Определение 1.2. Матрицей-строкой (строчечной матрицей) называется матрица размерности , состоящая из одной строки:
Определение 1.3. Матрицей-столбцом (столбцевой матрицей, числовым вектором) называется матрица размерности , состоящая из одного столбца:
Определение 1.4. Квадратной матрицей порядка называется матрица, у которой число строк и число столбцов одинаково и равно
Элементы матрицы, расположенные на главной диагонали матрицы, имеют одинаковые индексы строки и столбца: Определение 1.5.Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нулю:
Определение 1.6. Если в квадратной матрице , то матрица называется симметричной. Пример. симметричная матрица. Определение 1.7.Квадратная матрица вида
называется диагональнойматрицей. С матрицами можно выполнять следующие операции: сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование. Определение 1.8. Суммой двух матриц и одной размерности называется такая третья матрица той же размерности, что и матрицы–слагаемые, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц и : . Определение 1.9. Произведением матрицы на действительное число называется такая матрица той же размерности, что и матрица каждый элемент которой представляет собой произведение соответствующего элемента матрицы на число :
Пример. Даны матрицы ; , найти матрицу Пользуясь определениями 1.8 и 1.9, получим следующие матрицы:
Определение 1.10. Произведением матрицы размерности с матрицей размерности в указанном порядке называется такая третья матрица размерности каждый элемент которой представляет собой сумму произведений соответствующих элементов й строки матрицы и го столбца матрицы : . Замечание. Из определения 1.10 следует, что перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Определение 1.11. Матрица размерности называется транспонированной по отношению к матрице размерности , если она получена из неё заменой строк столбцами (или, что то же, столбцов – строками):
Пример. Даны матрицы
Составить матрицу Пользуясь определениями 1.10 и 1.11, получим матрицы ;
Пример. Найти произведение матриц и . По определению 1.10, результатом перемножения матриц и будет матрица размерности а при перемножении матриц и получится матрица размерности
Пример. Найти произведение матриц и По определению 1.10, результатом перемножения матриц и будет матрица размерности
Пример. Дана матрица
Записать матрицу Воспользуемся определением 1.10 и запишем:
Теорема 1.1.Операции с матрицами обладают следующими основными свойствами: 1. – коммутативность сложения матриц. 2. – ассоциативность сложения матриц. 3. – произведение матриц в общем случае некоммутативно. 4. – ассоциативность произведения матриц. 5. – дистрибутивность умножения матрицы на число относительно сложения действительных чисел 6. – дистрибутивность умножения матрицы на действительное число относительно сложения матриц. 7. – двойное транспонирование матрицы имеет своим результатом исходную матрицу. 8. если эти произведения имеют смысл.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (414)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |