Непрерывность функций
Лекция №1. Пределы. Непрерывность функций. Цели:ознакомить обучающихся с определением предела, с замечательными пределами, научить вычислять пределы. Определение пределов. Пусть функция Определение. Число А называется пределом функции в точке Записывают Аналогично Условно записывают Если Если Числа Для существования предела функции 2. Теоремы о пределах: Теорема 1. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции Теорема 2. Теорема 3. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Следствие 2.Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Теорема 4. 3. Замечательные пределы: Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел (число е = 2,718…):
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
Вычисление пределов Предел элементарной функции Пример №1. Вычислить предел: Решение:
В курсе математического анализа рассматриваются неопределенности вида Чтобы раскрыть неопределенность вида Пример №2. Вычислить предел: Решение: Чтобы раскрыть неопределенность вида Пример №3. Вычислить предел: Решение: Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби
Тогда Пример №4. Вычислить предел:
Решение: Чтобы раскрыть неопределенность вида Пример №5. Вычислить предел: Решение: Неопределенность Пример №6. Вычислить предел: Решение: Обозначим
Пример №7. Вычислить предел: Решение: Пример №8. Вычислить предел: Решение:
Пример №9. Вычислить предел: Решение: Непрерывность функций. Функция 1) функция определена в точке 2) существует предел 3) этот предел равен значению функции в точке Обозначая Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области. Точка Если существуют конечные пределы Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь, на точки устранимого разрыва (когда Точки разрыва не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва I I рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю. Пример №1. Исследовать функцию Решение: 1) Под прицел попадает единственная точка 2) Вычислим односторонние пределы: Таким образом, в точке Как выглядит график данной функции? Хочется провести упрощение Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки Пример №2. Показать, что при Решение: Вычислим односторонние пределы Таким образом, функция при Пример №3 Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции
Решение: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства I) Исследуем на непрерывность точку 1) 2) Найдём односторонние пределы: Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов: II) Исследуем на непрерывность точку 1) 2) Найдём односторонние пределы:
3) Таким образом, функция На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд: Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (464)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |