Разложение периодической функции в ряд Фурье
Вопрос 1 Тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), имеющей период T = 2l, называется ряд вида в котором коэффициенты ao, an, bn вычисляются по формулам
При этом говорят, что ряд (53) порождён функцией f(x), а коэффициенты ao, an, bn называются коэффициентами Фурье. В случае, когда функция f(x) имеет период Т = 2π, её ряд Фурье имеет вид и коэффициенты Фурье вычисляются по формулам Для четных функций ряд Фурье (53) содержит только члены для нечетных функции - только члены В этих случаях коэффициенты Фурье удобнее вычислять по формулам Важное значение имеют вопросы о том, при каких х ряд Фурье сходится и в каком случае сумма ряда в точке х равна значению функции f(x), порождающей этот ряд. Ответ на эти вопросы дает теорема Дирихле. Функция f(x) на отрезке [а, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если Например, функция, изображенная на рис. 22, удовлетворяет условиям Дирихле. Теорема Дирихле. Функция f(x), периодическая с периодом Т = 2l, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [-l,l], разлагается в тригонометрический ряд Фурье (53), причем: Тригонометрический ряд Фурье является частным случаем рядов, которые получаются для произвольных систем функций, ортогональных на отрезке [а, b]. Причем сами функции не обязаны быть периодическими. Рассмотрим систему функций {φn(x), n = 0, 1,2,...}, ортогональную на отрезке [а, b].Рядом Фурье функции f(x) Разложение периодической функции в ряд Фурье Согласно гипотезе Фурье не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Рассмотрим, каким образом можно провести данное разложение. Следующую систему ортонормированных функций на отрезка [–π, π] можно представить: {1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), cos(3t), sin(3t), …, cos(nt), sin(nt),… } Руководствуясь тем, что данная система функций является ортонормированной, произвольную функцию f(t) на отрезке [π, –π] можно представить следующим образом: f(t) = α0 + α1·cos(t) + α2·cos(2t) + α3·cos(3t) + …+ β1·sin(t) +... ... + β2·sin(2t) + β3·sin(3t)+… (1) α0 = <f(t)>, 1> = αn = <f(t)>, cos(nt) > = βn = <f(t)>, sin(nt) > = Выражение (1) можно записать в сжатом виде следующим образом: f(t) = a0/2 + a1·cos(t) + a2·cos(2t) + a3·cos(3t) + … + b1·sin(t) + b2·sin(2t) + b3·sin(3t)+… (2) a0 = 2α0 = an = αn = bn = βn = Так как при n = 0 cos(0) = 1, константа a0/2 выражает общий вид коэффициента an при n = 0. an = bn = (3) Вопрос 4
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1339)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |