Исследование функции одной переменной методами дифференциального исчисления
Вогнутый график функции - секущая над кривой, касательная под кривой. Выпуклый график - секущая под кривой, касательная над кривой. Теорема: Если на некотором участке кривой функция дважды дифференцируема и , если 1. у 2 штриха>0 функция вогнутая. 2. у 2 штриха<0 функция выпуклая. При исследовании функции, прежде всего, выделяют вертикальные асимптоты, которые соответствуют точкам разрыва непрерывности функции. у=1/х-2; х-2- асимптота графика данной функции (вертикальная асимптота). Наклонные ассимп. обычно наход., используя уравнение прямой с угловым коэффициентом (у=кх+б). К= ℓim f(x)/x х-∞ б= ℓim (f(x)-кх) х-∞ Общая схема исследования: 1. найти область определения. 2. исследование функции на четность и нечестность.3. найти вертик. асимптоты. 4. найти гориз. и наклонные асимптоты. 5. найти экстремумы, а значит, и интервалы монотонности функции. 6. найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.. (если сущ.).7. найти точки пересечения с осями координат и некоторые характерные точки. Пример: у= 2х2+1/х. К= ℓim 2х2+1/х/х= ℓim 2х2+1/ х2= ℓim(2+1/ х2)=2 х-∞ б= ℓim ((2х2+1/х)-2х)= 1/х=0; у=2х+0; у=2х- наклонная асимптота.
Исследуем на функцию на экстремум: у штрих= 4х*х-1(2х2+1)/х2= 2х2-1/х2. у штрих=о; 2х2-1=0; х1,х2=±1/√2
у 2 штриха= 4х*х2-2х(2х2-1)/х4=2/х3. (-∞; 0) у 2 штриха<0 выпуклый график. (0; ∞) у 2 штриха>0 вогнутый график функции.
№1 Геометрическое представление векторной величины Направленным отрезком называют отрезок определенной длины и определенного направления. Направленный отрезок с фиксированным началом А и концом В называется связанным вектором и обозначается АВ. Если для направленной отрезка фиксируются только его длина и направление, то он называется свободным вектором (обозначение аˉ,bˉ,хˉ,...). Длиной связанного вектора АВ (модулем, нормой) называется расстояние между точками А, В и обозначается |АˉВ|; запись также |аˉ| означает длину вектора аˉ, которую находят как длину соответствующего направленного отрезка. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается О. 1.Сложение: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ+вˉ=(х1+х2;у1+у2) 2.Вычитание: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ-вˉ=(х1-х2;у1-у2) Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х1;у1)=(-х2;-у2)= (х1-х2;у1-у2) 3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх1;λу1) Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1) (-1)аˉ= -аˉ(-х1;-у1)
№2 Алгебраическое представление векторной величины 1.Сложение: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ+вˉ=(х1+х2;у1+у2) 2.Вычитание: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ-вˉ=(х1-х2;у1-у2) Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х1;у1)=(-х2;-у2)= (х1-х2;у1-у2) 3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх1;λу1) Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1) (-1)аˉ= -аˉ(-х1;-у1)
№3 Линейные операции над векторами 1.Сложение: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ+вˉ=(х1+х2;у1+у2) 2.Вычитание: аˉ=(х1;у1) вˉ=(х2;у2) аˉ-вˉ=(х1-х2;у1-у2) Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х1;у1)=(-х2;-у2)= (х1-х2;у1-у2) 3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх1;λу1) Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1) (-1)аˉ= -аˉ(-х1;-у1)
№4 Скалярное произведение двух векторов: определение, примеры, св-ва Под скалярным произведением двух векторов а и в понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. скалярное произведение двух векторовравнодлине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого. аˉ×вˉ=(х1×х2; у1×у2)=|аˉ|×|вˉ|×cosλ 1. переместительное св-во аˉвˉ=вˉаˉ 2.Распределительное св-во (аˉ+вˉ)×сˉ=аˉсˉ+вˉсˉ 3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е. а 2=|а|2 4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е. (λаˉ, вˉ)= (аˉ, λвˉ)= λ(аˉ,вˉ) 5. скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е. (λаˉ+βвˉ, сˉ)= λ(аˉ, сˉ)+β(вˉ, сˉ) (β и λ—скаляры) Все рассмотренное применимо к трехмерным векторам. n-мерный вектор—упорядоченная совокупность n-действительных чисел. 5.Условие коллинеарности векторов, условие ортогональности векторов в пространстве Rn Условие коллинеарности: Определение: Два вектора аˉ и вˉ называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле(т.е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой) Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Теорема: Два ненулевых вектора а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. вˉ = Каˉ (К — скаляр). Доказательство: 1) Пусть векторы аˉ и вˉ (аˉ ≠0) коллинеарны и еˉ, еˉ'-- ихорты. Имеем аˉ = ае и вˉ = ве'. (2) Очевидно, еˉ΄= ±еˉ (3) , где знак плюс соответствует векторам аˉ и вˉ одинакового направления, а знак минус—векторам аˉ и вˉ противоположного направления. Из формул (2) и (3) получаем вˉ= ±ве= ± в÷а×(ае)= ± в ÷а×аˉ Отсюда вытекает формула (1), где К = ± в÷а. 2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов аˉ и вˉ непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр. Условие ортогональности: Для n-мерного пространства Rn аналогом перпендикулярности является ортогональность. Два вектора ортоганальны, если: а1ˉ=(х1;х2;…;хn) а2ˉ=(у1;у2;…;уn) , если скалярное произведение равно 0. (х1у1+х2у2+…+хnуn)=0 Нулевой вектор в пространстве Rn ортоганален любому вектору этого пространства. Система векторов каждый из которых имеет длину равную1 и каждая пара векторов ортогональна называется—ортонормированной системой. Ортонормированный базис—базис, в котором все векторы единичны и попарно ортоганальны.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (720)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |