Матрицы и определители. Линейные операции над матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица размером m х n, и состоящая из m строк и nстолбцов
Числа aij , i=1,m,j=1,n, входящие в данную таблицу, называются матричными элементами, а индексы i и j элементауказывают (соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент aij. Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица из n строк и n столбцов, называется матрицей n-го порядка. Каждой матрице порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем или детерминантом этой матрицы и обозначается одним из следующих символов
Числа aij (i,j=1,n)называются элементами определителя. Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется особенной (вырожденной), а если определитель отличен от 0 - то матрица неособенная (невырожденная). Квадратная матрица называется симметрической, если aij = aji, т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. главная диагональ, образована элементами aji , i=1,n . Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны 0. Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I. Пример 1.1.1. Матрица АТ , полученная из данной матрицы А заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А . Если матрица А имеет размеры m х n, то матрица АТ имеет размеры n х m. Пример 1.1.2. Линейными операциями над матрицами называются операции сложения (вычитания) и умножения на число. Сложение и вычитание определяется только для матриц одинаковых размеров. Суммой (разностью) двух матриц А={aij}mn и В={bij}mn называется матрица С={cij}mn, для которой cij= aij ± bij ,i=1,m,j=1,n. Произведением матрицы А={aij}mnна число αназывается матрица В= α {aij}mnдля которой bij =α aij , i=1,m,j=1,n. Пример 1.1.3. Даны матрицы и числоα = 4. Вычислить матрицы: С=А+В, D=A-B, М = А4 Произведением двух согласованных матриц Аmk={aij}mk и Вkn={bij}kn называется такая третья матрица Сmn={cij}mn для кoторой каждый элементcij ,i=1,m,j=1,n вычисляется по формуле (рис. 1.1.1.): Число столбцов матрицы A(3) равно числу строк матрицы В(3). Поэтому произведение АВ= С определено. Матрица С имеет размерность 2х4, а её элементы вычисляются по формуле (1.1.2). Произведение B∙A не определено, т.к. число столбцов матрицы B(4) не равно числу строк матрицы А(2). Определителем матрицы третьего порядка называется число Студенту следует обратить внимание на правила треугольника вычисления определителей третьего порядка. Пример 1.1.5. Вычислить определитель Минором М ij (i, j=1,n) элемента аij определителя называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент аij . Алгебраическим дополнением Аij(i, j=1,n) элемента аij определителя называется его минор взятый со знаком (-1)i+j, т.е. Аij=(-1)i+j Mij (1.1.3) Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов определителя примера 1.1.5. Замечание Определители матриц n-го порядка (n =1,2...) короче называют определителями n-го порядка. Свойства определителей: 1) определитель не изменится, если транспонировать матрицу определителя; 2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак; 3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0; 4) общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя; 5) определитель равен 0 , если все элементы строки (столбца) равны нулю; 6) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель; 7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
Например:
Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5., используя свойство 7 определителей (разложение произвести по элементам первого столбца)
Если матрица А невырожденная (det A¹O), то обратная матрица А-1 находится по формуле Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице Студентам рекомендуется провести вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Ранг матрицы
Рангом матрицы А размерности т х п называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка большего, чемr, равен 0. Ранг матрицы обозначается r(А). Свойства ранга матрицы А размерности т´ п 1) 0 ≤ r ≤ rnin(m,n); 2) r =0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая; 3) для квадратной матрицы n-го порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная; 4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы; 5) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку (столбец); 6) ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы прибавить элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число; 7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы. Пример 1.1.9. Найти ранг матрицы А например
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2084)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |