Тема 3.3. Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢x(х0,у0) и f¢у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение Df(х0,у0) = f(x0+Dx,y0+Dy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0). Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде Df(х0,у0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу, (3.3.1) где , то функция называется дифференцируемойв точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0): df(x0,y0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу. (3.3.2) Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагаяпоочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx и Dу . Таким образом df = f¢x dх + f¢у dу. Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует , а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке. Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке. На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0, то есть çР0Рç = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç = f(Q0), çS0Sç = f(S0) и çR0Rç = f(R0). Приращение Df(х0,у0) функции в точке Р0 равно çRR2ç. Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: çQ2Q1ç = f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç = f¢x(x0,y0)Dx. Из легко доказываемого равенства çR2R1ç = çS2S1ç + çQ2Q1ç и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç. Так как df(x0,y0) »Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (482)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |