Извлечение корня из комплексного числа
Корнем n-ой степени, n Î N, n ³ 2, из числа z называется любое комплексное число u, для которого n-ая степень равна z: . В поле комплексных чисел справедлива следующая теорема. Для любого z ≠ 0 извлечение корня n-ой степени, n ³ 2, из числа z всегда возможно и имеет ровно n различных значений. Пусть z = r(cosj + isinj). Искомый корень n-ой степени обозначим u = r(cosq + isinq). По определению корня имеем un = z. Откуда следует, что rn (cosnq + isinnq) = r(cosj + isinj). Из равенства комплексных чисел получаем: Так как . Таким образом, модуль комплексного числа u определяется как арифметический корень из действительного положительного числа r, а аргумент находят по формуле Общая формула Муавра , Пример. Вычислить u = . Представим число z = в тригонометрической форме: , Поэтому согласно общей формуле Муавра , где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Таким образом, значения корней: , , Геометрически корни можно интерпретировать как числа, изображающие в комплексной плоскости вершины правильного n угольника (в рассмотренном примере – шестиугольника ), вписанного в окружность радиусом (в рассмотренном примере – радиусом ), с центром в начале координат. Примеры. Найти: 1) , 2) , 3) .
Решение. 1) , u0 = cos0 + isin0 = 1, , , .
2) , k = 0, 1, 2.
3) , k = 0, 1, 2.
Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Помимо алгебраической и тригонометрической имеется еще показательная форма записи комплексного числа, которая широко используется в различных приложениях, в частности в электротехнике. Пусть , зависит от действительной переменной φ. Сопоставим взаимно однозначным образом каждому комплексному числу комплексно показательное выражение . С помощью операций дифференцирования можно показать, что эти выражения имеют одну и ту же логическую сущность, в связи с этим полагают по определению . Эта формула называется формулой Эйлера и представляет собой определение комплексной показательной функции , где φ – любое действительное число. Пусть дано комплексное число z =r (cosφ + isinφ). Сопоставляя это с предыдущей формулой, получаем . Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой комплексного числа. В этой форме записи удобно осуществлять операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Соответствующие формулы записываются следующим образом. Пусть . Тогда
Примеры. 1. Найти показательную форму чисел: а) z1 = 1 + i; б) z2 = . Решение. а) r = , . б) . 2. Найти алгебраическую форму чисел: а) , б) , в) . Решение. а) , б) , в) . 3. Найти z1z2 и , результат записать в тригонометрической форме: а) ; б) . Решение. а) , , б) . 4. Вычислить: а) z4 , б) , где . Решение: а) , б)
Теория комплексных чисел может быть использована при решении геометрических задач на плоскости; и обратно, факты геометрического характера позволяют доказывать некоторые соотношения и тождества для комплексных чисел. Примеры. 1. Пусть . Доказать, что . Поскольку , то . Геометрически этот факт означает, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.
Действительно, точки плоскости, соответствующие комплексным числам 0, z1, z2 и z1 + z2, являются вершинами ромба, для которого и – длины его сторон, а и – длины его диагоналей.
2. Пусть z1, z2, z3, z4 – различные комплексные числа и . Доказать, что . Имеем: = = , т. к. число вещественно и положительно (докажите это самостоятельно). Кроме того, = = . Доказанное равенство известно в планиметрии как теорема Птолемея: произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность четырехугольника равно сумме парных произведений длин его противолежащих сторон.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2273)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |