Дисперсия дискретной случайной величины
Пусть ; mx = x1· p1 + x2 · p2 + … + xn · pn – математическое ожидание x (центр); x – mx – отклонение x от центра; (x – mx)2 – квадрат отклонения x от центра. Очевидно, (x – mx)2 : . Дисперсией дискретной случайной величины x называется математическое ожидание квадрата отклонений от центра: D[ x ] = Dx = M[(x – mx)2] = p1 (x1– mx)2 + p2 (x2– mx)2 +…+ + pn(xn – mx)2.
пример 1. , mx = 3,
Пример 2. , mx = 3, Dx = 1.
Помнить: дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей.
Свойства дисперсии: 10. D [ a ] = 0; 20. D [ a x ] = a2 Dx; 30. если x, h статистически независимы, то D [ x + h ] = D [ x ] + D [ h ]. 40. Dx = M [x 2 ] – . доказательство. Первое и второе свойства непосредственно вытекают из определения и соответствующего свойства математического ожидания (доказать самостоятельно). 30. D [ x + h] = M [(x + h – mx + h)2] = m [(x + h – mx – – mh)2] = M [(x – mx+ h – mh)2] = M [(x– mx)2 + (h – mh)2 + + 2(x– mx)(h – mh)] = M [(x– mx)2 ] + M [(h – mh)2] + 2 M [x – – mx ]·M[h – mh] = Dx +dh +2(mx – mx)(mh – mx) = Dx +dh, что и требовалось.
Здесь существенно использовалась статистическая независимость случайных величин x – mx, h – mh. 40. Dx = M [(x– mx)2 ] = M [x 2 – 2x mx + ] = M [x 2] – – 2 M [x ]· mx + = M [x 2] – .
Величина называется среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины x . Очевидно, sx имеет тот же смысл, что и Dx – характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей. СКО имеет ту же физическую размерность, что и случайная величина x. Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Мы знаем, что закон распределения дискретной случайной величины x задается таблицей, в которой перечислены ее возможные значения и указаны их вероятности. Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, так как в этом случае вероятности отдельных значений равны нулю.
Пример. Испытание: берут наугад точку x на числовой оси так, что значения на отрезке [0, 1] равновозможны, остальные значения невозможны. Очевидно, x – непрерывная случайная величина. Найдем .
Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан двумя способами: 1. с помощью функции распределения F (x); 2. с помощью плотности вероятности f (x).
Функция распределения
Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x. Зафиксируем произвольное число х. В зависимости от случая возможны три исхода испытания: x > x, x = x, x < x. Каждое из этих трех событий случайно, поэтому имеет смысл говорить об их вероятности. Обозначим F (x) = p (x < x). Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины x.
Рис. 11 свойства функции распределения 10. 0 ≤ F (x) ≤ 1; 20. F (x) монотонно не убывает (рис. 11); 30. F (– ¥) = 0, F (+ ¥) = 1; 40. P (a<x< b) = F (b) – F (a). доказательство. 1. Это свойство вытекает из того, что вероятность любого события есть число, принадлежащее [0, 1]. 2. Это свойство вытекает из того, что при увеличении х интервал ( – ¥, х) расширяется, поэтому вероятность попадания в этот интервал не уменьшается. 3. F (– ¥) , F (+ ¥) . 4. Имеем: F (b) = P (x < b) = = = P (x < a) + P (x = a) + P (x Î (a, b)) = F (a) + 0 + P (a<x< b).
Отсюда вытекает требуемое равенство 40. Замечание. Функция распределения F (x) имеет смысл и для дискретных случайных величин. Например, функция распределения случайной величины x : представляет собой кусочно-постоянную функцию, график которой изображен на рис. 12 (кружок означает, что в этом месте отсутствует точка на графике).
Рис. 12 Проверим это для случаев х >3, 2≤ х< 3. В первом случае имеем F (x) = P (x < x) = P (x = 1 или x = 2 или x = 3) = = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) = 0,25 + 0,25 + 0,5 = 1. Во втором случае F (x) = P (x = 1 или x = 2) = Р (x = 1) + Р (x = 2) = = 0,25 + 0,25 = 0,5. Оставшиеся случаи 1≤ х< 2, x<1 предлагаем рассмотреть самостоятельно.
Плотность вероятности
[ ] Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x. Плотностью вероятности случайной величины x в точке х называется предел отношения вероятности попадания в отрезок [x, x + Dx] к длине отрезка Dx при условии, что отрезок стягивается к точке х: . Нестрого говоря, плотность вероятности – это вероятность попадания в отрезок длины 1.
Свойства плотности вероятности: 10. f (x) ≥ 0 при всех х. 20. P (x Î (a,b)) = вероятность попадания в интервал равна заштрихованной площади (рис. 13).
Рис. 13
30. Площадь S бесконечной фигуры, ограниченной графиком плотности f (x) и осью абсцисс, равна 1 (рис. 13): S = 1.
Доказательство. 1. Это свойство вытекает из того, что предел неотрицательной функции неотрицателен. 2. Имеем . Отсюда получаем ; учтено свойство 40 функции распределения. 3. . Помнить: кривая плотности вероятности показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по интервалам. Замечание. Рассмотрим два крайних случая (рис.14, 15). В первом случае с вероятностью, близкой к единице, случайная величина x принимает значения, близкие к х0, в этом случае можно без большой погрешности считать, что x- неслучайная величина: x » х0. Во втором случае суммарная вероятность 100% приблизительно равномерно распреде-лена по широкому спектру возможных значений, то есть в этом случае x сильно случайная величина.
Рис. 14 Рис. 15
Связь между f (x) и F(x)
Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x с плотностью вероятности f (x) и функцией распределения F (x). Справедливы равенства 10. ; 20. . доказательство. 1. по свойству плотности вероятности. 2. Это свойство было доказано выше (см. доказательство свойства 20 плотности).
Пример. Берут наугад точку x на оси так, что значения на [0, 1] равновозможны, а остальные невозможны. Найти: а) функцию распределения F(x); б) плотность вероятности f(x). Решение.а) F(x) – ? [ ] Пусть 1. х ≤ 0: F (x) = P (x < x) = 0. 2. 0 < x≤ 1: F (x) = P (x < x) = P ( – ¥ < x≤ 0 или 0 < x < x) = = P( – ¥ < x ≤ 0) + P (0 < x < x) = 0 + = x. 3. x > 1: F (x) = P (x < x) = P (x≤ 0 или 0 < x ≤ 1 или 1 <x < x) =
Окончательно имеем
б) f (x) – ? , отсюда Замечание. Если график плотности вероятности имеет вид, изображенный на рис. 16, то говорят, что случайная величина x равномерно распределена на [a, b].
График функции распределения для такой случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 17.
Числовые характеристики
Напомним, что для дискретной случайной величины числовые характеристики определяются формулами: mx = x1p1 + x2p2 + … xnpn = ; Dx = M [(x – mx)2] = ; . Числовые характеристики непрерывной случайной величины определяются формулами ; ; . Эти величины имеют такой же смысл, как в дискретном случае: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины, дисперсия и СКО – разброс относительно центра. Сохраняют, как можно доказать, все свойства математического ожидания и дисперсии, доказанные в дискретном случае.
Решение. Имеем из замечания (рис.16) Тогда Следовательно, , , . (14)
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (909)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |