Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Нижняя и верхняя интегральные суммы
Пусть функция определена на отрезке ,a<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками Обозначим это разбиение через , а точки будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , которую будем называть длиной частичного отрезка . Составим сумму (1) которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b], соответствующей данному разбиению [a,b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек . Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , если f(x)>=0. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения : . Определение:Если существует конечный предел I интегральных сумм (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом: т.е. В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a,b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Билет 14. Свойства определенного интеграла
Формулы оценки определенных интегралов Будем полагать, что . 1. Если всюду на отрезке , то . 2. Если всюду на отрезке , то . 3. Если интегрируема на отрезке , то . 4. Если и - соответственно максимум и минимум функции на отрезке , то . Билет 15. Определенный интеграл как функция верхнего предела Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на отрезке , где . Рассмотрим функцию аргумента . (1) Назовем функцию интегралом с переменным верхним пределом. В формуле (1) переменная интегрирования обозначена буквой , чтобы избежать путаницы с переменным верхним пределом . Теорема: Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция . Таким образом, любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную в форме определенного интеграла с переменным верхним пределом. Поскольку всякая другая первообразная отличается от на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид , где С – произвольная постоянная. Билет 16.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (675)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |