Интегралы от неограниченнх ф-ий
Если ф-ия
Где
Несобственный интеграл (2) или (3) называютсясходящимися , если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (1)называется сходящимся ,если существуют и конечны оба предела в правой части. Для интегралов от неограниченных ф-ий справедливы теоремы : Теорема 1 Если при Теорема 1 Если при
Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений. В качестве ф-ии, с которой связывают подынтегральную ф-ию ,часто выбирают
60.Дифференциальные уравнения (основные понятия) Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной ,входящей в это уравнение. Если искомая ф-ия зависит от одной переменной, то соответствующее диф. урав- ие назыв. обыкновенным . Если искомая ф-ция зависит от нескольких переменных , то соответсв-ее диф. уравнение назыв. Уравнением с частными производными .Обыкновенными диф-ое уравн.n-ого порядка в общем виде можно записать так:
Где x-независимая переменная ; y=y(x) искомая ф-ия переменной Если уравнение (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то его можно представить в виде Ф-ия Для всех График решения диф-ого урав. n-ого порядка назыв. интегральной линией (или интегральной кривой). Задача Коши для диф-ого урав. n-ого порядка состоит в следующем:найти решение y=y(x) уравнения (1),удовлетворяющее условиям
Где Равенства (3),которые назыв. начальными условиями ,можно записать в таком виде: Условия существования в единственности решения задач Коши для уравнения (2) определ. след-ей теоремой ,приводимой здесь без доказательства. Теорема 1 Если в уравнении
(k=0,1,2, … n-1; Где C>0, То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям h= min Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия
Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянных Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение ,получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е.ф-ия Где Решение диф-огоуравн.n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида
Неявно определ-ее общее решение
№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными: Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет:
Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M1(y)·M2(x)=0 или f2(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.
№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка: Ур-е: y'+P(x)y=Q(x)(1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y'(а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши. Методы решения: 1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа): y'+P(x)y=0
= y0=C· C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1) yн=C(x)· d(x)· C '(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)· yн= Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид: y=y0+yн=С· 2.Метод Бернулли: Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x) U'V+UV'+P·UV=Q U'V+U(V'+PV)=0=Q V'+PV=0 V'+PV=0 ln|V|=- V=C· V= U' U'=Q U= U=( U' V+U V'+U Vtgx= U' V+U(V'+Vtgx)= V'+Vtgx=0 V'+Vtgx=0
ln|V|=ln|cosx|+ln|C| ln|V|=ln|C·cosx| C=1 V=cosx U'cosx= U'= U=tgx+C y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х,как функция от у,т.е. может быть приведено к виду:
№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y''+py'+gy=0(1) p, g Є R. λ2+pλ+g=0(2) 1) λ1, λ2, Є R, λ1≠λ2 Решение: y1= 2) λ1, λ2 Є R, λ1=λ2=λ y1= 3)λ1, λ2 Є C, λ1/2=α±βi y1= y0=C1 Рассмотрим ур-е: y''+py'+gy=f(x)(3) Во многих случаях правая часть ур-я (3) имеет вид: f(x)= Известно, что в этом случае частное решение yн(х) ур-я (3) имеет аналогичную структуру правой части, т.е. частное решение в этом случае необходимо искать ун(х)=хк m={r,s}, k=числу корней характеристического ур-я совпадающему числу z=a+bi f(x)= yн=хк m=max k: a+bi
64. Производственная функция Кобба-Дугласа: a1 a2 an y = f(x) = cx1 x2 … xnxi – количество i-го фактора ( c , ai ≥ 0) y – объем выпуска продукции · Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени r = a1 + … +an С учетом отношения: f xi ( x ) = ai / xi f( x ), т.е. ε f, xi ( x ) = ai, факторные показатели (параметры) ai называются иногда (частными) производственными эластичностями. Предельная норма замещения факторов: Если рассмотреть линию уровня – изокванту производственной функции y = f(x1, …, xn) по высоте y0 и задаться вопросом, на сколько единиц надо (приблизительно) изменять количество i-го фактора xi, чтобы при постоянных объеме выпуска и значениях остальных переменных заменить одну единицу k-го фактора, то (при некоторых предположениях) будет определена неявная функция x k = φ (xi), призводная которой называется предельной нормой замещения: φ/ (xi) = -fxi(x)/fxk(x) предельная норма замещения (фактор k заменен фактором i) Чувствительность цены опциона “ колл” Формула Блэка-Шоулза: Pколл = PФ(d1) – Se-iTФ(d2), где d1 = 1/σ√T (ln(P/S) + T(i + σ2/2)) и d2 = d1 - σ√T определяет цену: Pколл опциона “колл”(на покупку акции)в зависимости от входных параметров: P (актуальная цена акции), S (базисная цена; цена исполнения, указанная в опционе), i (безрисковая процентная ставка при мгновенном начислении процентов), T (остаточный срок действия опциона), σ2 (дисперсия рентабельности акции), Ф (функция распределения стандартного нормального распределения, а φ – ее плотность: φ(x) = (1/√2π)e-x*x/2 Изменение цены опциона “колл” при изменении i- го входного параметра на ∆xi(при неизменных фиксированных значениях остальных параметров) можно оценить с помощью частного дифференциала (∂Pколл/∂P)∆xi, где, например, ∆ = ∂Pколл/∂P = Ф(d1)>0 - дельта; чувствительность цены опциона относительно изменения цены акции P. 65.Числовые ряды: если задана числовая последовательность (un), то выражение u1 + u2 + u3 +… + un +…, называется числовым рядом. n Если существ. lim Sn = S, где Sn = ∑ uk = u1 + u2 +… + un − n - ∞ k=1 его n –ая частичная сумма, то ряд назыв. сходящимся (число S – сумма ряда), в противном случае – расходящимся. Если ряд сходится, то lim un = 0 n - ∞ (необходимый признак сходимости)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (384)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |