Теоретический материал к разделу. 4.1.1 Основные понятия о функциях нескольких переменных
4.1.1 Основные понятия о функциях нескольких переменных Определение 1. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество на плоскости (в пространстве), а область значений принадлежит действительной оси. Если принадлежит плоскости , а оси , то такую функцию двух переменных записывают в виде . Пример1. Найти область определения функции . Решение: Эта функция определена, если , , то есть , . Возведя в квадрат обе части предыдущего неравенства, получим , то есть . Далее, имеем Данная система будет выполняться, если выполняется одно из следующих соотношений либо В итоге, область определения функции можно записать в виде .
Рисунок 1
Геометрически состоит из двух тупых углов, образованных прямыми , включая границы без точки (рис.1). Пример 2.Найти область определения функции , где – положительное число. Решение: Функция принимает действительные значения при условии , то есть . Следовательно, областью определения данной функции является круг радиусом с центром в точке , включая граничную окружность, то есть .
4.1.2 Предел и непрерывность функции нескольких переменных Определение 2.Число называется пределом функции в точке , если для каждого найдется такое число что при всех из окрестности , кроме этой точки, выполняется неравенство и обозначается в виде . Практически все свойства пределов, рассмотренные нами ранее для функций одной переменой остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем. Определение 3. Функция называется непрерывной в точке если выполняется три условия: 1) существует 2) существует значение функции в точке 3) эти два числа равны между собой, т.е. . Пример 3. Найдем все точки, в которых непрерывна функция . Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге . Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция непрерывна в открытом круге .
4.1.3 Частные производные Определение 4.Если существует предел , то его называют частной производной по [ по ] и обозначают: . Из определения 2 следует, что если берется частная производная по какой-либо переменной, то все остальные переменные считаются постоянными. Пример 4. Дана функция . . Пример 5.Найти , . Решение: Рассматривая как постоянную величину, получим . Рассматривая как постоянную величину, находим .
4.1.4 Полный дифференциал Определение 5. Функция , имеющая представление , (1) называется дифференцируемой, а её главная (линейная) часть – полным дифференциалом и обозначается (2) Из (1) следует, что . Или Пример 6. Для найти .
Пример 7. Вычислить приближённо . Решение: Рассмотрим функцию , где . Тогда .
4.1.5 Дифференцирование неявной функции При условии существования и непрерывности имеем Для функции двух переменных , . Пример 8. а) . б) .
4.1.6 Производная сложной функции. Полная производная Пусть задана функция , где . Тогда, при условии существования непрерывных частных производных функций имеем
Если задана функция , где то - формула полной производной. Пример 9. Пусть , , . Найдем частные производные сложной функции составленной из этих функций. |подставим сюда значения и | = . .
4.1.7 Теорема о смешанных производных Пусть задана функция , имеющая частные производные и . Частные производные от и , если они существуют, будут частными производными второго порядка: Аналогично можно найти частные производные порядка . Теорема 1.Если и определены и непрерывны в т. и в некоторой её окрестности,. то в этой точке Теорема 2.При соответствующих условиях теорема 1 верна для смешанных производных порядка . Пример 10. . .
4.1.8 Касательная плоскость и нормаль к поверхности Через любую функции можно провести касательную плоскость к ее поверхности, проходящей через . Ее уравнение будет: . Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в точке касания называется нормальюк этой поверхности. В любой точке поверхности нормаль существует и проходит в направлении градиента функции в этой точке. Ее параметрические уравнения имеют вид . Если функция задана в виде , то уравнения касательной плоскости и нормали примут вид: и Пример 11. Напишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности эллиптического параболоида в точке . Решение: Предварительно запишем это уравнение в виде , который определяет поверхность уровня 0 функции . Отсюда получим , , . Следовательно , , . Подставляя эти значения в уравнения касательной плоскости, получим , т.е. . Параметрические уравнения нормали имеют вид . 4.1.9Определение экстремума функции Определение 6.Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке , если для всех отличных от точек в достаточно малой окрестности точки выполнено неравенство (или соответственно ). Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Определение 7.Точка ( , в которой дифференцируемая функция может достигать экстремума, называется критической точкой. Она находится путём решения системы уравнений: -Это необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Пусть и . Составим дискриминант . Тогда: 1) если , то функция имеет экстремум в точке , а именно максимум, если (или , и минимум, если А>0 (или С>0); 2) если , то экстремума в точке нет; 3) если , то вопрос о наличии экстремума функции в точке остается открытым (требуется дальнейшее исследование). Пример 12. Исследовать на экстремум . Получим две критические точки 1. Рассмотрим т. имеет минимум. Следовательно, в т. имеет минимум. 2. Рассмотрим т. Тогда - функция в т. экстремума не имеет.
Решение типовых задач Задача №1.Найти частные производные и частные дифференциалы следующей функции. Решение: ; Задача №2. Вычислить значения частных производных , , для данной функции в точке с точностью до двух знаков после запятой. Решение: ; ; ; ; ; Ответ: ; ;
Задача №3.Найти полный дифференциал функции . Решение: ; ; Ответ: Задача №4. Вычислить значение производной сложной функции , где , при с точностью до двух знаков после запятой. Решение: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ответ: Задача №5.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S: в точке Решение: Найдем уравнение касательной плоскости в виде . У нас ; ; . Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид: или уравнение нормали: принимает вид:
Задача №6.Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что Решение: Итак, Задача №7.Исследовать на экстремум функцию Решение: Используем необходимые условия экстремума функции, чтобы найти стационарные точки точка стационарная точка функции Вычислим , , ; ; Используя достаточные условия экстремума функции, получаем экстремум есть, т.к. в точке (1,1) находится максимум функции Ответ:
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (333)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |