Задача о площади криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная кривой , прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0. На рис.10.1 аАВb - криволинейная трапеция. Требуется найти площадь SаАВb . Разобьем отрезок произвольно на n элементарное отрезков точками . Длина каждого элементарного отрезка для i =1, 2, …, n. Из точек xi восставим перпендикуляры до пересечения с прямой АВ. На кривой получим точки Криволинейная трапеция аАВb разбилась на n элементарных криволинейных трапеций (полосочек) с основаниями Обозначим площадь элементарной криволинейной трапеции . На отрезке выберем произвольную точку . Если достаточно малы, то с некоторой погрешностью можно площадь элементарной трапеции считать равной площади прямоугольника с основанием и высотой . То есть В этом случае площадь криволинейной трапеции с некоторой погрешностью равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из элементарных прямоугольников. Погрешность тем меньше, чем больше n и чем меньше . Очевидно (12.2) в) задача об объеме продукции, произведенный за некоторый промежуток времени. Пусть функция y=f(t) Описывает производительность некоторого производства (человека, бригады, механизма, танка) в течение промежутка времени [0;T]. По аналогии с задачей а) разобьем промежуток времени [0;T] точками . На достаточно малые промежутки длительностью . В этом случае можно полагать, что объем произведенной продукции за этот промежуток ,где . Погрешность в равенстве тем меньше, чем меньше Тогда объем произведенной продукции: Если , то (12.3) Анализ рассмотренных задач показывает, что различные по смысловому содержанию задачи абсолютно одинаковы по математической схеме. Поэтому есть смысл рассмотреть произвольную функцию y=f(x) на отрезке , используя выше приведенную схему. 1. разобьем отрезок произвольно на n элементарных отрезков точками . 2. На отрезке выберем произвольную точку, которой соответствует значение функции . 3.Составим произведения и найдем . Назовем эту сумму интегральной суммой для функции f(x) на отрезке . Очевидно эта интегральная сумма зависит как от способа разбиения точками , так и от выбора точек . Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий от способа выбор точек и , то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке , а функция f(x) называется интегрируемой на этом отрезке. При этом вводится обозначение f(x) - подынтегральная функция, выражение f(x)dx - подынтегральное выражение a и b - нижний и верхний предел соответственно. Возвращаясь к рассмотренным выше задачам можно заметить, что путь, пройденный точкой за промежуток времени [0;T] . С переменной скоростью V=v(t) : (12.4) Площадь криволинейной трапеции (12.5) Объем произведенной продукции за промежуток [0;T] при изменяющей производительности Z=z(t) (12.6) Из (12.5) следует геометрический смысл определенного интеграла: он представляет собой площадь криволинейной трапеции при условии, что на отрезке . А из (12.6) вытекает экономический смысл определенного интеграла: если - производительность труда, то определенный интеграл представляет объем произведенной продукции за промежуток времени [0;T] . Замечание. Следует иметь ввиду, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются. Если - представляет собой семейство функций (кривых), то определенный интеграл - есть некоторое число.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (640)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |