Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е.
По определению,
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем:
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется еготригонометрической формой. Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
где Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы. Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всемиточками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются накомплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т.е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны. Теорема доказана. Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовыекоординаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.
Сопряжённые числа Геометрическое представление сопряжённых чисел Если комплексное число Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства. · · · · · Обобщение: · · Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа
1.10 Формула Муавра для комплексных чисел для любого Доказательство Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера Применение Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа: где k = 0, 1, …, n—1. Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1.11 1.12
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (635)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |