Неопределенный интеграл. Понятие неопределенного интеграла
Понятие неопределенного интеграла. дифференцирование -это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифференциал. Например, если F(x) = х10, то F' (х) = 10х9, dF (х) =10x9dx. Интегрирование -это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, если F' (х) = 7х6, то F (х) == х7, так как (х7)'=7х6. Дифференцируемая функция F(x), хЄ]a; b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]а; Ь[, если F' (х) = f (х) для каждого хЄ]a; b[. Так, для функции f(x) = 1/cos3 х первообразной служит функция F(x)= tg x, поскольку (tg x)'= 1/cos2 х.
Например, 5x4dx = х5 + С, так как (х3 + С)' = 5х4. Приведем основные свойства неопределенного интеграла. 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.
аf(х)dx = a f(x)dx 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
Основные формулы интегрирования
1.
2.
3.
4.
5.
7.
8.
9.
10.
11.
Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.
Пример 1.Найти
Решение. Произведем подстановку 2 — Зх2 = t тогда -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Далее, получаем
Пример 2.Найти Решение. Сначала положим 2 + cos x = t; тогда -sin xdx= dt, откуда sin xdx = -dt. Далее, получаем
Пример 3. Найти Решение. Положим 10х = t; тогда 10dx = dt, откуда dx=(1/10)dt. Далее, получаем
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k = 0, n= 0 — постоянные):
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы и упражнения для самопроверки 1. Какое действие называется интегрированием? 2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)? 3. Дайте определение неопределенного интеграла. 4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. 5. Каким действием можно проверить интегрирование?
7. Найдите интегралы: а) б) в)
г)
Ответы: 7.а) б) в)
г) Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона—Лейбница:
где а—нижний предел, Ь—верхний предел, F (x)—какая-нибудь первообразная функции f (х).
Пример 1.Вычислить интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:
Приведем основные свойства определенного интеграла. 1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный:
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:
Решение. 1) Произведем подстановку х3+2=t; тогда
3х2dx=dt, 2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При х=1 получаем tн=13+2=3, при х=2 получаем tв=23+2=10. 3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим
Пример 3. Вычислить интеграл Решение. 1) положим cos х=t; тогда – sinxdx =dt и sinxdx = -dt. 2) Определим пределы интегрирования для переменной t: tн=cos0=1:tв=cos (π/2)=0. 3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение sin3x = sin2 x • sin x = (1 — cos2x) sin x = sin x - cos2 x sin x. Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:
Вычислим каждый интеграл отдельно:
Тогда
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 46), ограниченной гpaфикoм непрерывной функции y=f(x), где хЄ[а, b], отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х =a и х = b, вычисляется по формуле
(1) Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 , прямыми х = - 1, х = 2 и осью абсцисс (рис.47). Решение. Применяя формулу (1), получаем т.е. S=3 кв. ед. Площадь фигуры ABCD (рис. 48), ограниченной графиками непрерывных функций у =f1(x) и у f2= (x), где х Є[а, b], отрезками прямых х = а и х = Ь, вычисляется по формуле
(2)
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией у = х2 — 2х (рис. 49). Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций y=х2—2х и у=0 (ось Ох). Для этого решим систему
Теперь найдем искомую площадь:
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 и у2 =х (рис. 50). Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций у = х2 и у2 =х. Для этого решим систему
Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при f1(x)=x2,
Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой у = f (x), где x Є [а, b], отрезком [а, Ь] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b (рис. 51), вычисляется по формуле
Пример 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Ох фигуры, ограниченной параболой у2=2х, прямой х = 3 и осью Ох (рис. 52). Решение. Применяя формулу (3), находим искомый объем:
(куб. ед.)
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой x=f(y), где у Є [а, b], отрезком [а, b] оси Оу, отрезками прямых у = а и у = Ь (рис. 53), вычисляется по формуле
(4)
Пример 9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Оу фигуры, ограниченной параболой у=х2 и прямой у = 4 (рис. 54). Решение. Применяя формулу (4), находим искомый объем:
(куб. ед.)
Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь пройденный точкой за промежуток времени [t1,t2], вычисляется по формуле
(5) Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение определенного интеграла. 2. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 4. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла. 5. По каким формулам находится объем тела вращения? 6. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом. 7. Напишите формулу для вычисления работы переменной силы. 8. По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4047)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |