Закон распределения Пуассона, его определение, свойства и примеры
Определение. Будем говорить, что случайная величина εраспределена по закону Пуассона с параметром λ, еслиона принимает значения из множества { 0,1,…,n, …} с вероятностями P { ε=m} = (λm/m!)*e- λ. Теорема. Если случайная величина εраспределена по закону Пуассона с параметром λ, то и математическое ожидание, и дисперсия этой случайной величины равны параметру λ. Свойства распределения Пуассона: 1. . Действительно: 2. . 3. если , то из биномиального распределения следует закон распределения Пуассона. ПРИМЕР 1.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три негодных изделия; б) не более трёх повреждённых изделия. Решение: по условию n=5000, p=0,0002. Найдём . а) k = 3. Искомая вероятность по формуле Пуассона приближённо равна . б) Пусть случайная величина Х – число изделий, повреждённых в пути, то есть . Очевидно, что данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Следовательно, искомую вероятность можно вычислить по формуле . Но, так как , то по свойству 3о можем воспользоваться законом распределения Пуассона, то есть, можем записать: . Замечание.По формуле Пуассона можно вычислить вероятность того, что число событий, происшедших за время равно , если события образуют пуассоновский поток, причём – интенсивность потока, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени: . ПРИМЕР 2. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течении которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова? Решение: Найдём, прежде всего, – среднее число вызовов за 1 секунду: . Тогда, при , получим:
23.*Геометрическое распределение, его определение, свойства и примеры. Пусть проводятся независимые испытания, каждое испытание может иметь два исхода: удача с вероятностью p и неудача с вероятностью q = 1 - p. Введем в рассмотрение случайную величину X — число испытаний до первого появления удачи. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Когда говорят, что случайная величина X имеет значение k, то это означает, что первые k - 1 испытание закончились неудачей, а k-ое испытание стало удачным. Вероятность того, что в серии независимых испытаний будет вначале k - 1 неудач, а в k-ое испытание — удача, равна . Таким образом мы получили закон распределения случайной величины X: значению k случайной величины соответствует вероятность . Этот закон распределения и называется геометрическим распределением . Название происходит из того, что величина представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.Изучим теперь свойства этого распределения. С ростом k вероятности убывают. Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можем записать: , то есть условие, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице, выполнено. Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию. По определению математического ожидания имеем: . Для вычисления суммы воспользуемся следующим приемом — заменим на и вынесем производную за знак суммы, в итоге получим: . Оставшаяся сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и равна . Вычисляя производную, запишем: . Аналогично можно получить выражение для : . Заменяя сумму на ее значение , вычисляем: . Таким образом, имеем выражение для дисперсии: . Если вероятность удачи равна единице, то математическое ожидание числа испытаний до первой удачи равно 1, а дисперсия — 0. Если, наоборот, вероятность удачи равна нулю, то математическое ожидание — бесконечность (то есть нужно произвести бесконечное число испытаний до появления удачи).Пример 30.1Вероятность попадания в мишень из винтовки равна 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины — количества выстрелов до первого попадания.Математическое ожидание , дисперсия . Полученные результаты означают, что при вероятности попадания 0,8 попадание будет в среднем с 1—2 выстрела.
24.Равномерный закон распределения, его определение, свойства и примеры. Определение.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде: можно найти функцию распределения: 2. Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле: . Пример 1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что НСВ - время ожидания автобуса - распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание), среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность того, случайно подошедший на остановку пассажир будет ожидать автобус не более 4 минут, но и не менее 2 минут. Решение: ; .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1728)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |