Фазовая и групповая скорость. Дисперсия скорости
Как было указано в п. 1.2, в упругой среде малые возмущения распространяются со скоростью звука, являющейся фазовой скоростью. Для случая монохроматических плоских волн можно показать, что фазовая скорость гармонической волны есть . (1.18) Так как возмущение (в нашем случае – гармоническое колебание) подчиняется волновому уравнению, то и в соотношении (1.18) частота и волновое число не могут быть произвольными. В случае линейных сред для малых возмущений в рамках волнового уравнения (1.2) . Рассмотрим далее некоторые вопросы, связанные с дисперсией. Напомним, что дисперсией называется функциональная зависимость между частотой и волновыми числом , и в большинстве случаев она имеет явный вид . (1.19) Если фазовая скорость постоянна или закон дисперсии (1.19) носит линейный характер, то такая среда называется бездисперсионной. Бездисперсионные среды обладают очень важным свойством: возмущение (1.4) распространяется в данной среде без изменения формы. Сказанное относится в полной мере и к гармоническим колебаниям (1.5). Так, если в некоторый момент времени возмущение имеет вид группы гармонических волн, то и в любой другой момент времени это возмущение будет иметь тот же вид, т. к. отдельные волны не изменят своего положения друг относительно друга. В случае дисперсионной среды ситуация меняется. Любое возмущение (не обязательно периодическое) может быть представлено в форме ряда Фурье или Фурье-образа, т. е. в среде будет распространяться группа гармонических волн с различными волновыми числами. Теперь уже различные гармоники будут распространяться с различной фазовой скоростью, что приведет к изменению формы начального возмущения. Кроме того, для сред с дисперсией понятие скорости волны становится более сложным и требует дополнительных определений. Производная от правой части дисперсионного соотношения (1.18) (1.20) имеет размерность скорости и называется групповой скоростью. Реальные дисперсионные соотношения можно получить, подставляя функцию (1.4) в волновое уравнение. Таким образом может быть получено дисперсионное соотношение для гармонической волны в линейном приближении: . (1.21) Нетрудно показать, что в общем случае одномерных процессов групповая скорость связана с фазовой скоростью следующим соотношением: . (1.22) Выберем некоторое значение и соответствующее ему значение как исходные величины и допустим, что к волновому числу добавляется малое возмущение . Соответствующее возмущенное значение частоты может быть аппроксимировано двумя членами ряда Тейлора: , (1.23) где . Тогда фаза , соответствующая этому возмущенному значению волнового числа, определяется выражением , (1.24) где невозмущенная фаза. Если теперь не возрастает, а уменьшается до значения , то соответствующая фаза определяется выражением . (1.25) Решение волнового уравнения, соответствующее волновому числу , имеет вид . (1.26) Решение записывается в виде с такой же амплитудой, как и . Суперпозиция двух решений дает . (1.27) Графически это решение при изображено на рис. 1.1. Его можно рассматривать как волну с исходным волновым числом и частотой, модулированную по амплитуде множителем . Другими словами, имеют место биения, соответствующие медленным изменениям амплитуды. Колебания ограничены двумя кривыми . (1.28)
Каждый участок огибающей (1.28) длиной можно интерпретировать как группу (пакет) волн, а скорость – как скорость этой группы. Физический смысл групповой скорости заключается в том, что она равна скорости переноса энергии в направлении распространения волны. Из сказанного следует, что в линейных средах групповая и фазовая скорости совпадают, однако это справедливо только при малых амплитудах смещения. Следует заметить, что учет дисперсии в упругих средах сопряжен с некоторыми сложностями, которые усугубляются, если имеет место диссипация энергии. Таким образом, имеем: 1) для сред без дисперсии или ; 2) для сред с аномальной дисперсией или ; 3) для сред с нормальной дисперсией или . 1.7. Энергетические характеристики упругих волн. Акустические колебания являются упругими, поэтому все, что будет сказано об упругих колебаниях, справедливо и для акустических. Выделим малый объем среды и определим, как меняется со временем энергия, находящаяся в этом объеме среды. Акустическая энергияскладывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии деформации. Кинетическая энергия единицы объема есть . (1.29) Потенциальная энергия единицы объема, связанная с упругой деформацией среды равна . (1.30) Принимая во внимание, что упругие колебания в плоском случае описываются уравнением (1.2), имеющим общее решение вида (1.3), при непосредственном дифференцировании выражения (1.3) получим , (1.31) откуда, с учетом (1.29) и (1.30), следует, что . Это свидетельствует о том, что в малом объеме упругой среды кинетическая энергия равна потенциальной. Изменение их значений в волновом процессе происходит синфазно, т.е. в одинаковой фазе. Именно в этом заключается принципиальное отличие волнового процесса от простого колебательного движения, где кинетическая и потенциальная энергия изменяются в противофазе. Распространение колебаний в упругой среде может представлено как распространение следующих типов волн: - волны упругих деформаций (перенос потенциальной энергии); - волны колебательных скоростей (перенос кинетической энергии). Энергия единицы объема – это объемная плотность энергии, она равна . (1.32) Для гармонических волн , откуда имеем . (1.33) Таким образом, механическая энергия единицы объема пропорциональна плотности среды, квадрату амплитуды смещений и квадрату частоты колебаний. Объемная плотность энергии – величина переменная. Она различна в каждый момент времени и в каждой точке. Средняя за период плотность энергии гармонической волны в каждой точке волнового поля: . (1.34) Объемная плотность энергии – локальная энергетическая характеристика. Перейдем к интегральным характеристикам. Энергия некоторого объема : . (1.35) Поток или изменение энергии по закону сохранения энергии равно: . (1.36) Это скалярная величина, которая не отражает направления переноса энергии. Для характеристики направления потока энергии в данной точке акустического поля вводят векторную величину – плотность потока энергии: . (1.37) Величину называют вектором Умова-Пойнтинга. Его направление совпадает с направлением распространения волны: . (1.38) Интенсивность акустических волн – отношение потока акустической энергии сквозь поверхность, перпендикулярную направлению распространения, к площади этой поверхности. Таким образом, интенсивность (сила звука) равна модулю вектора Умова-Пойнтинга: . (1.39) Основываясь на формулах (1.34), (1.38) и (1.39), можно сказать, что интенсивность звука – это средняя плотность энергии, переносимой через единичную площадку в направлении распространения волны. В этом случае интенсивность одномерной гармонической волны равна . (1.40) Из выражения (1.40) следует, что интенсивность упругой волны пропорциональна квадратам амплитуды и частоты колебаний и произведению плотности среды на скорость распространения волны, т.е. акустическому импедансу среды. Учитывая, что звуковое давление , запишем: (1.41) Таким образом, интенсивность упругой волны определяется отношением квадрата амплитуды акустического давления к удвоенному акустическому сопротивлению среды. Полученная формула одинаково справедлива для плоских и сферических бегущих волн. Если не учитывать поглощение энергии ультразвука средой, то в случае плоских волн интенсивность не меняется с расстоянием. Однако для сферических волн интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (см. раздел 1.3). Для стоячих волн интенсивность утрачивает смысл: I = 0, т.к. потока энергии в этом случае нет. Энергетической характеристикой таких волн является просто плотность акустической энергии.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1031)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |