Прямая линия в пространстве
С любой прямой в пространстве связан вектор, который лежит на данной прямой или на ей параллельной. Такой вектор называется направляющим вектором прямой и обозначается . Параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку , называются уравнения где l, m, n – координаты направляющего вектора, t - параметр. Исключим из этих уравнений параметр t :
На основании этого можно записать . Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой. Пусть заданы точки и . Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид: . Пример 12. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Решение. По условию , , , , , . Подставим в параметрические и канонические уравнения прямой и получим: и . Пример 13. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и . Решение. Подставим координаты заданных точек в уравнение прямой, проходящей через эти точки: или . Последние уравнения являются каноническими уравнениями прямой, где , , , , , . Подставим в параметрические уравнения прямой и получим искомые уравнения: Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, нормальные векторы которых не коллинеарны: Пример 14. Найти канонические уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей Решение. Разрешим данную систему относительно x и y. Первое уравнение умножим на ( 2): Сложим со вторым и получим: или . Подставим в первое уравнение: или . Полученные равенства разрешим относительно z: и . Тогда можно записать . Получены канонические уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух данных плоскостей. Пусть даны две прямые и , где и - их направляющие векторы. Угол между этими прямыми определяется по формуле . Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т.е. . Эти соотношения являются условием параллельности двух прямых. Две прямые взаимно перпендикулярны, если их направляющие векторы и ортогональны. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. . Это равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых. Пример 15. Даны пары прямых: а) и ; б) и ; в) и . Определить, какие из этих пар прямых параллельны, а какие – взаимно перпендикулярны. Решение. а) Направляющие векторы прямых и . Координаты векторов пропорциональны: . Так как условие параллельности прямых выполняется, то прямые параллельны. б) Направляющими векторами прямых являются и . Их скалярное произведение равно нулю: . В данном случае выполняется условие перпендикулярности прямых, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. в) Координаты направляющих векторов и прямых не пропорциональны и скалярное произведение этих векторов не равно нулю, т.е. прямые не параллельны и не перпендикулярны. Найдём угол между прямыми, который равен углу между их направляющими векторами: . Следовательно, .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (533)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |