Частотный критерий устойчивости Попова
Рассмотрим нелинейные системы, структурные схемы которых можно привести к виду, показанному на рисунке 3.5. В этой структурной схеме имеется безынерционный нелинейный элемент с характеристикой (3.21) и линейная часть с передаточной функцией W (s), имеющей статический коэффициент передачи, равный единице, и импульсной переходной функцией .Все воздействия приведены к одному входу и обозначены .
Рисунок 3.5 - Структурная схема системы с безынерционным нелинейным элементом Изображение решения дифференциального уравнения системы выразим через изображения воздействия F (s) и координаты : . (3.22) Переходя к оригиналам, получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода: . (3.23) Будем рассматривать систему при таких воздействиях, которые ограничены по модулю и являются исчезающими функциями времени. Обозначим максимальное воздействие (supremum). Исчезающей функцией времени назовем функцию, стремящуюся с течением времени к нулю: . Если воздействие отсутствует, то из (3.23) следует . (3.24) Если нелинейная характеристика проходит через начало координат, т. е. Ф(0)=0, то уравнение (3.24) имеет тривиальное решение: (3.25) которое соответствует положению равновесия. Положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова, если существует такое положительное число , что при имеет место неравенство (3.26) где А — сколь угодно малое положительное число. В зависимости от того, при каких значениях выполняется неравенство (3.26) будем различать три вида устойчивости: устойчивость в малом, если бесконечно малая величина; устойчивость в большом, если - конечная величина, и устойчивость в целом, если не ограничено. Изложим частотный метод определения устойчивости, предложенный В. М. Поповым [5], при использовании которого задача решается более просто приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем. Если в системе автоматического регулирования имеется лишь одна однозначная нелинейность , (3.27) то, объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы (см. рисунок 3.6, а) в виде: , (3.28) где , , причем будем считать т < п.
Рисунок 3.6 - Система автоматического регулирования с однозначной нелинейностью Пусть нелинейность y=F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k (см. рисунок 3.6, б), т. е. при любом х, 0< F(x)< kx. (3.29) Пусть многочлен Q(p),или что одно и то же, характеристическое уравнение линейной части Q(p)=0, имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же, кроме них, имеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами, допускается, чтобы или и в выражении Q(p),т. е. не более двух нулевых полюсов в передаточной функции линейной части системы: . Приведем без доказательства формулировку теоремы В.М.Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число h, при котором при всех , (3.30) где - амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы при , а при двух нулевых полюсах при , a при малых . Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе Q(p) передаточной функции линейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторые другие простые добавочные условия [5], называемые условиями предельной устойчивости. Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики , которая определяется следующим образом:
График имеет вид (см. рисунок 3.7, а), аналогичный , когда в выражениях Q(p) и R(p) разность степеней п- т>1. Если же разность степеней , то конец графика будет на мнимой оси ниже начала координат (см. рисунок 3.7, б). Далее, выполнив соответствующие математические преобразования, рассмотрим следующую графическую интерпретацию теоремы В. М. Попова. Рисунок 3.7 - Видоизмененные частотные характеристики к формулировке теоремы В. М. Попова Преобразуем левую часть неравенства (3.30): . (3.31) Тогда, положив
и использовав соотношение (3.31), получим вместо (3.30) для теоремы В. М. Попова условие: (3.32) при всех . Очевидно, что равенство (3.33) представляет уравнение прямой на плоскости . Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В. М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на плоскости , проходящую через точку , чтобы вся кривая лежала справа от этой прямой. На рисунке 3.8 приведена графическая интерпретация теоремы В. М. Попова для установления устойчивости нелинейной системы. Как видно, рисунки 3.8, а и 3.8, б соответствуют устойчивым системам, а рисунки 3.8, в и 3.8, г – неустойчивым.
Рисунок 3.8 - Графическая интерпретация теоремы В. М. Попова для определения устойчивости нелинейной системы
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (757)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |