Предел функции в точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е. в самой точке функция может быть и не определена) Определение. Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что верно неравенство . То же определение может быть записано в другом виде: Если то верно неравенство . Запись предела функции в точке: Определение. Если при только при , то - называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы и называются также односторонними пределами функции в точке . Также говорят, что – конечный предел функции .
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , таких что выполняется неравенство При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности. Обозначение: Графически это определение можно представить в виде: y y A A 0 0 x x
y y A A x x 0 0
Аналогично можно определить пределы для любого и для любого .
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. , где С = const. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при . Теорема 2. Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при
Теорема 5. Если в некоторой окрестности точки и , то . Аналогично определяется знак предела при . Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки и , то . Определение. Функция называется ограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число , что для всех точек из этой окрестности. Теорема 7. Если функция ) имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .
Доказательство. Пусть , т.е. , тогда или , т.е. где Теорема доказана.
Бесконечно малые функции и их свойства
Определение. Функция называется бесконечно малой при , где а может быть числом или одной из величин , или , если . Бесконечно малой функция является только при указании к какому числу стремится аргумент . При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функция является бесконечно малой при и не является бесконечно малой при , т.к. . Теорема. Для того, чтобы функция при имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестностии точки выполнялось равенство , где – бесконечно малая при фунукция ( при ).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2271)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |