Ковариация и коэффициент корреляции
Пусть имеется двумерная случайная величина (Х и Y). Степень зависимости её составляющих Х и Y, выражает ковариация и коэффициент корреляции. Ковариацией или корреляционным моментом называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин Х и Y от их математических ожиданий. Обозначается:
Раскрыв скобки и преобразовав формулу, мы получим: Коэффициентом корреляции называется отношение ковариации случайных величин Х и Y к произведению их средних квадратических отклонений: Свойства коэффициента корреляции: 1) Коэффициент корреляции принимает значение на отрезке , то есть
2) Если случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, то есть . Если , то случайные величины называются некоррелированными. 3) Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен по модулю единице, то есть , то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость. Пример 1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, Y) задан в таблице:
Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1; в) вычислить P(Y<X); г) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y. Решение: а) Случайная величина X может принимать значения: X = 1 с вероятностью X = 2 с вероятностью , т.е. ее закон распределения: X:
Аналогично закон распределения Y:
б) Условный закон распределения X при условии, что Y = 2, получим, если вероятности , стоящие в последнем столбце первоначальной таблицы, разделим на их сумму, т.е. на . Получим:
Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии X = 1 вероятности , стоящие в первой строке первоначальной таблицы, делим на их сумму, т.е. на . Получим:
в) Для нахождения вероятностей P(Y<X) складываем вероятности событий из первоначальной таблицы, для которых Получим: P(Y<X) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5. г) Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин: Так как Вычислим ковариацию по формуле: Вычислим коэффициент корреляции по формуле: т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).
Закон больших чисел. С вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что частота наступления события при большом числе опытов сколь угодно мало отличается от вероятности наступления этого события в отдельном опыте.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4556)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |