Линейная зависимость и независимость векторов
Множество, включающее m ненулевых векторов из n-мерного векторного пространства, состоит из линейно независимых векторов тогда и только тогда, когда лишь при li = 0 ( i = 1, 2, ..., m) для . Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры li , не все равны нулю, такие, что .
1.4.Базис n-мерного векторного пространства
Базисом (максимальной линейно независимой системой векторов) n-мерного пространства называется линейно независимое множество векторов через которые посредством линейных комбинаций может быть выражен любой вектор этого пространства.
Пример. Вектор может быть разложен единственным образом по векторам , , которые образуют базис пространства .
ТЕМА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицей размера m х nназывается прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов: . Числа aij - называются матричными элементами матрицы A. Примечание. Матрицу Аmxn можно представить в виде совокупности m вектор-строк или n вектор-столбцов, т.е. . Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, называется квадратной. Квадратная матрица, имеющая единицу по главной диагонали и нули на всех остальных местах, является единичной и обозначается Е, т.е.
2.1. Действия с матрицами
Транспонирование матриц Транспонированием матриц называется такое преобразование исходной матрицы, когда столбцы преобразуются в строки и наоборот - строки в столбцы: , где
Пример Транспонируя матрицу , получим .
Сложение Суммой двух матриц является третья матрица той же размерности, каждый элемент которой представляет сумму двух соответствующих элементов слагаемых матриц: ; .
Пример. Складывая матрицы
и получим . Умножение матрицы на скаляр
Произведением матрицы на скаляр l является матрица . Каждый элемент матрицы А умножен на скаляр l. Умножение матриц
Произведением матрицы Аmxn на матрицу Bnxr называется новая матрица Сmxr , каждый элемент которой представляет скалярное произведение соответствующей вектор-строки левой матрицы на вектор-столбец правого множителя: , где .
Пример Рассмотрим произведение А2x4 × B4x3 = C2x3 или
, где C11 = 14 представляет скалярное произведение вектор-строки ( 2; 3; 1; 0) на вектор-столбец ( 4; 2; 0; 1), т.е. и т.д.
Правило. Перемножать можно матрицы только в том случае, когда количество столбцов первой (левой) матрицы равно количеству строк второй (правой) матрицы. Cвойства операции умножения матрицы. а) A(B+C)=AB+AC b) (A+B)C=AC+BC c) C(AB)=(CA)B d) .
Определителем 2-го порядка называется число, получаемое из элементов матрицы 2-го порядка, представленных в виде квадратной таблицы. Он равен разнице произведений чисел, расположенных по главной и побочной диагоналям: , где - элементы определителя; - главная диагональ; - побочная диагональ.
Определителем 3-го порядка называется число, которое можно найти по следующей формуле
Определитель третьего порядка, также можно найти по теореме Лапласа:
- это разложение по i-й строке. Чтобы вычислить алгебраическое дополнение Аi1 элемента аi1, вычеркнем мысленно из матрицы, например, вторую ( i = 2) строку и первый столбец, на пересечении которых стоит . Оставшемуся определителю второго порядка припишем знак (-1)2+1 :
Следующий элемент во второй строке а алгебраическое дополнение элемента будет .
Обратная матрица Пусть А - квадратная матрица. Матрица B называется обратной для матрицы А, если произведение этих матриц равно единичной матрице, т.е. АB = BA=E. Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то эта матрица имеет обратную и притом единственную.
Правило.Для вычисления обратной матрицы необходимо осуществить следующие операции: 1. Вычислить определитель исходной матрицы; если он не равен нулю, то обратная матрица существует. 2. Вычислить алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: А11, А12,..., Аn1,... Аnn . 3. Составить из алгебраических дополнений матрицу 4. Транспонируя полученную матрицу, получить присоединенную . 5. Разделив присоединенную матрицу на определитель, получить обратную матрицу , 6. Сделать проверку ∙ =E
Пример. Вычислить обратную матрицу для . Проводим расчеты по пунктам, описанным выше:
1.
2. , , , , , , , , .
3. .
4. .
5. =-
.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (521)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |