Общие сведения о ДУ 1-го порядка
Раздел 11. Дифференциальные уравнения.
1. Общие сведения о ДУ 1-го порядка. 2. Уравнения с разделяющимися переменными. 3. Однородные ДУ 1-го порядка. 4. Линейные ДУ 1-го порядка. 5. ДУ в полных дифференциалах 6. Линейные ДУ II порядка. 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). 8. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).
Решение многих задач естествознания часто приводит к таким ситуациям, когда не удается сразу найти законы, связывающие непосредственно изучаемые величины. Вместе с тем, удается найти соотношения, связывающие используемые величины и их производные или дифференциалы. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями(ДУ). При решении практических задач физики или геометрии составляют ДУ, описывающие исследуемое явление. При составлении ДУ обычно приходят к одному из следующих видов уравнений: 1) ДУ в производных 2) ДУ в дифференциалах 3) Простейшие интегральные уравнения с последующим преобразованием их в ДУ.
Общие сведения о ДУ 1-го порядка.
Рассмотрим задачу, приводящую к ДУ. 1. Найти уравнение кривой, зная, что отрезок оси Оу, который отсекается касательной в произвольной точке кривой, равен удвоенной ординате точки касательной. Возьмем кривую, заданную уравнением Отрезок Найдем точку пересечения прямой с осью Используем условие Получим равенство для точки
Рассмотрим основные определения.
Опр.1. Дифференциальным уравнением называется уравнение вида: Опр. 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение, т.е. в уравнении (1) производная
Опр.3. Если уравнение (1) можно записать в виде то оно называется ДУ, разрешенным, относительно старшей производной.
Опр.4. Решением ДУ (1) или (2) является функция Например: функция Этот пример показывает, что данное ДУ имеет не одно, а бесконечное множество решений Пример: Оказывается, что в общем случае решение ДУ
Опр.5. Функция
Теорема (о существовании и единственности решения ДУ). Если в уравнении (2) функция Условия (3) называются начальными условиями, а сама задача (2) с условиями (3), т.е. нахождение решения ДУ (2), удовлетворяющего начальным условиям(3), называется задачей Коши. Обратимся к ДУ 1-ого порядка:
Будем рассматривать На практике и в теории необходимо иметь в виду возможность представления ДУ 1-ого порядка в виде
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (837)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |